21.求123456789101112……199200除以9的余數是________;
解答:
一位數個位數字之和是1+2+3+…..9=45
二位數數字之和是
1×10+1+2+3+…….9 (10-19)
2×10+1+2+3+…….9 (20-29)
……
9×10+1+2+3+…….9 (90-99) 余90,9余0,11余2
故二位數總和為(1+2…..+9)×10+1+2…..+9=495
100—199與1—99的區別在于百位多了100個1,共100
所以原數數字值和為45+495+495+100+2=1137,除以9余3.
22: 222……22除以13所得的余數是_____.
2000個
分析與解答:
因為222222=2111111
=21111001
=211171113
所以222222能被13整除.
又因為2000=6333+2
222…2=222…200+22
2000個 1998
2213=1…9
所以要求的余數是9.
求除以9,11,99,101,999,1001,13和91的余數分別是多少;
解答:
23: 除以9的余數是0,
11: 一個2007奇數位上數字和與偶數位上數字的和的差為5. 2007個2007奇數位上數字和與偶數位上數字的和的差為5×2007.
≡5×2007≡3(mod11),所以除以11的余數是3
99: 能被9整除,被11除余3的數最小是36,所以除以99余36
200720072007能被7,13,37整除.999=27×37 1001=7×11×13 91=7×13
13: ≡0(mod13) 除以13余0
91: ≡0(mod91) 除以91余0
所以除以13,91,999的余數都是0.
1001: 除以11余3,除以7,13余0,滿足次條件的最小數是1092,1092除以1001余91.所以 除以1001的余數是91.
101: 我們發現9999=101×99,所以
=0000+2007=×10000+2007
=×9999++2007≡+2007(mod101)
同樣道理
+2007≡+2007×2(mod101)
以此類推 ≡2007×2007(mod101)=68
24、今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二,問物最少幾何
解答:此數除以3余2,除以5余3,除以7余2,滿足條件最小數是23
25、(23+105k)2)一個數除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此條件的數最小是________;如果它是一個四位數,那么最大可能是________;
解答:滿足除以7余3,除以11余7的最小數為73,設此數為73+77a=13b+4, 69-a=13b.
a最小等于4.滿足條件的最小數是381.
設最大的四位數為381+1001x,最大的四位數為9390.(1732)
26、今天周一,天之后是星期________;這個數的個位數字是________;
天之后是星期________;
解答:只要求出÷7的余數就可以知道天后是星期幾.≡52007(mod7),56≡1(mod7)
2007≡3(mod6), ≡52007≡53≡6(mod7) s
所以天之后是星期日
2007的個位數字是7
20072的個位數字是9
20073的個位數字是3
20074的個位數字是1
20075的個位數字是1
27、一個三位數,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________;
一個四位數,被131除余112,被132除余98,那么它可能是________;
解答:設此三位數為17a+5=18b+12. 可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.這個三 位數為192,498,804.
設此四位數為131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145(太大)
這個四位數是1946
28、甲,乙,丙三個數分別為603,939,393.某數A除甲數所得余數是A除乙數所得余數的2倍,A除乙數所得余數是A除丙數所得余數的2倍.A是________;
解答:如果A除丙所得的余數是1份的話,那么A除乙所得余數就是2份,A除甲所得的余數就是4份.把2乙-甲,則沒有余數,即2乙-甲使A的倍數;同理乙-2丙也同樣沒有余數,是A的倍數.
939×2-603=1275,939-393×2=153
A是1275和153的公約數,而1275與153的最大公約數是51,所以A可能是1,3,17,51
再實驗得到A為17,余數分別為8,4,2.
