奇偶問題練習題一

　　1.小華買了一本共有96張練習紙的練習本，并依次將它的各面編號（即由第1面一直編到第192面）。小麗從該練習本中撕下其中25張紙，并將寫在它們上面的50個編號相加。試問，小麗所加得的和數能否為2000？

　　【分析】不可能。因為25個奇數相加的和是奇數，25個偶數相加是偶數，奇數加偶數=奇數

　　2.有98個孩子，每人胸前有一個號碼，號碼從1到98各不相同。試問：能否將這些孩子排成若干排，使每排中都有一個孩子的號碼數等于同排中其余孩子號碼數的和？并說明理由。

　　【分析】不可以。一名為98個數中有49個奇數，奇數加偶數等于奇數，奇數不是二的倍數。

　　3.有20個1升的容器，分別盛有1，2，3，…，20立方厘米水。允許由容器A向容器B倒進與B容器內相同的水（在A中的水不少于B中水的條件下）。問：在若干次倒水以后能否使其中11個容器中各有11立方厘米的水？

　　【分析】不可能，因為兩個奇數相加等于偶數，兩個偶數相加等于偶數，11是奇數，B是偶數，偶數不等于奇數。

　　4.一個俱樂部里的成員只有兩種人：一種是老實人，永遠說真話；一種是騙子，永遠說假話。某天俱樂部的全體成員圍坐成一圈，每個老實人兩旁都是騙子，每個騙子兩旁都是老實人。外來一位記者問俱樂部的成員張三：“俱樂部里共有多少成員？”張三答：“共有45人。”另一個成員李四說：“張三是老實人。”請判斷李四是老實人還是騙子？

　　【分析】李四是騙子，老實人和說謊的人的人數相等，可是45是個奇數，所以張三是騙子。

　　5.圍棋盤上有19×19個交叉點，現在放滿了黑子與白子，且黑子與白子相間地放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉點上放著白子（或黑子）。問：能否把黑子全移到原來的白子的位置上，而白子也全移到原來黑子的位置上？

　　【分析】不可以，因為不是白字多黑字一個，就是黑子多白字一個，不可能相等。

　　6.某市五年級99名同學參加數學競賽，競賽題共30道，評分標準是基礎分15分，答對一道加5分，不答記1分，答錯一道倒扣1分。問：所有參賽同學得分總和是奇數還是偶數？

　　【分析】奇數，5*30+15=165   165-6N-4M=奇數減去偶數=奇數    99*奇數=奇數。

　　7.現有足夠多的蘋果、梨、桔子三種水果，最少要分成多少堆（每堆都有蘋果、梨和桔子三種水果），才能保證找得到這樣的兩堆，把這兩堆合并后這三種水果的個數都是偶數。

　　分析與解：當每堆都含有三種水果時，三種水果的奇偶情況如下表：

　　可見，三種水果的奇偶情況共有8種可能，所以必須最少分成9堆，才能保證有兩堆的三種水果的奇偶性完全相同，把這兩堆合并后這三種水果的個數都是偶數。

　　說明：這里把分堆后三種水果的奇偶情況一一列舉出來，使問題一目了然。

　　8.有30枚2分硬幣和8枚5分硬幣，5角以內共有49種不同的幣值，哪幾種幣值不能由上面38枚硬幣組成？

　　解：當幣值為偶數時，可以用若干枚2分硬幣組成；

　　當幣值為奇數時，除1分和3分這兩種幣值外，其余的都可以用1枚5分和若干枚2分硬幣組成，所以5角以下的不同幣值，只有1分和3分這兩種幣值不能由題目給出的硬幣組成。

　　說明：將全體整數分為奇數與偶數兩類，分而治之，逐一討論，是解決整數問題的常用方法。

　　若偶數用2k表示，奇數用2k+1表示，則上述討論可用數學式子更為直觀地表示如下：

　　當幣值為偶數時，2k說明可用若干枚2分硬幣表示；

　　當幣值為奇數時，

　　2k+1=2（k-2）+5，

　　其中k≥2。當k=0，1時，2k+1=1，3。1分和3分硬幣不能由2分和5分硬幣組成，而其他幣值均可由2分和5分硬幣組成。

　　9.設標有A，B，C，D，E，F，G的7盞燈順次排成一行，每盞燈安裝一個開關。現在A，C，D，G這4盞燈亮著，其余3盞燈沒亮。小華從燈A開始順次拉動開關，即從A到G，再從A開始順次拉動開關，他這樣拉動了999次開關后，哪些燈亮著，哪些燈沒亮？

　　解：一盞燈的開關被拉動奇數次后，將改變原來的狀態，即亮的變成熄的，熄的變成亮的；而一盞燈的開關被拉動偶數次后，不改變原來的狀態。由于

　　999=7×142+5，

　　因此，燈A，B，C，D，E各被拉動143次開關，燈F，G各被拉動142次開關。所以，當小華拉動999次后B，E，G亮，而A，C，D，F熄。

　　10.桌上放有77枚正面朝下的硬幣，第1次翻動77枚，第2次翻動其中的76枚，第3次翻動其中的75枚……第77次翻動其中的1枚。按這樣的方法翻動硬幣，能否使桌上所有的77枚硬幣都正面朝上？說明你的理由。

　　分析：對每一枚硬幣來說，只要翻動奇數次，就可使原先朝下的一面朝上。這一事實，對我們解決這個問題起著關鍵性作用。

　　解：按規定的翻動，共翻動1+2+…+77=77×39次，平均每枚硬幣翻動了39次，這是奇數。因此，對每一枚硬幣來說，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意到

　　77×39=77+（76+1）+（75+2）+…+（39+38），

　　根據規定，可以設計如下的翻動方法：

　　第1次翻動77枚，可以將每枚硬幣都翻動一次；第2次與第77次共翻動77枚，又可將每枚硬幣都翻動一次；同理，第3次與第76次，第4次與第75次……第39次與第40次都可將每枚硬幣各翻動一次。這樣每枚硬幣都翻動了39次，都由正面朝下變為正面朝上。

　　說明：（1）此題也可從簡單情形入手（如9枚硬幣的情形），按規定的翻法翻動硬幣，從中獲得啟發。

　　（2）對有關正、反，開、關等實際問題通常可化為用奇偶數關系討論。

　　11.在8×8的棋盤的左下角放有9枚棋子，組成一個3×3的正方形（如左下圖）。規定每枚棋子可以跳過它身邊的另一枚棋子到一個空著的方格，即可以以它旁邊的棋子為中心作對稱運動，可以橫跳、豎跳或沿著斜線跳（如右下圖的1號棋子可以跳到2，3，4號位置）。問：這些棋子能否跳到棋盤的右上角（另一個3×3的正方形）？

　　解：自左下角起，每一個方格可以用一組數（行標、列標）來表示，（自下而上）第i行、（自左而右）第j列的方格記為（i，j）。問題的關鍵是考慮9枚棋子（所在方格）的列標的和S。

　　一方面，每跳一次，S增加0或偶數，因而S的奇偶性不變。另一方面，右上角9個方格的列標的和比左下角9個方格的列標之和大

　　3×（6+7+8）-3×（1+2+3）=45，

　　這是一個奇數。

　　綜合以上兩方面可知9枚棋子不能跳至右上角的那個3×3的正方形里。

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