1、如下圖，在一張由一組水平線和一組垂直線組成方格紙上，如果任意相鄰平行線之間的距離都相等，我們就把這樣兩組平行線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)（如下圖中的紅點(diǎn)），把圖中相鄰兩個格點(diǎn)的距離看著一個單位長度，把每個小正方形的面積看作一個面積單位（如圖中帶陰影的方格）。
一個多邊形的頂點(diǎn)如果全是格點(diǎn)，這個多邊形就叫做格點(diǎn)多邊形，本講就，學(xué)習(xí)求格點(diǎn)多邊形的面積問題。這種格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算起來很方便，一般有三種方法：①規(guī)則的格點(diǎn)多邊形，可以運(yùn)用多邊形的面積公式求出面積；②一些簡單而又特殊的格點(diǎn)多邊形，可以通過數(shù)格子求出面積；③較復(fù)雜的不規(guī)則圖形，一般用皮克公式計(jì)算。其中數(shù)格子的方法比較原始，很少用。
任意格點(diǎn)多邊形，只要數(shù)出多邊形周界上的格點(diǎn)的個數(shù)及圖內(nèi)格點(diǎn)的個數(shù)，就可用下面的皮克公式算出面積：
格點(diǎn)多邊形面積=圖內(nèi)格點(diǎn)個數(shù)+周界格點(diǎn)數(shù)÷2-1
這個公式是皮克(Pick)在1899年給出的，被稱為“皮克定理”，這是一個實(shí)用而有趣的定理。
皮克定理的證明：
將格點(diǎn)圖中的每個點(diǎn)看作以這個點(diǎn)為圓心、以單位面積正方形的邊長的一半為半徑的圓。格點(diǎn)多邊形圖內(nèi)的點(diǎn)對應(yīng)的圓的面積都是圖形面積的一部分；而在多邊形邊界上的點(diǎn)對應(yīng)的圓的面積只有一半屬于這個多邊形，且多邊形每個角上的圓屬于圖內(nèi)的面積都不到半個圓，少了其外角對應(yīng)的扇形面積，因任意多邊形的外角和是360度，正好是個整圓，所以周界上圓在圖內(nèi)的面積為：周界格點(diǎn)數(shù)÷2-1
所以格點(diǎn)多邊形面積為：圖內(nèi)格點(diǎn)個數(shù)+周界格點(diǎn)數(shù)÷2-1。
皮克定理的證明過程比較抽象，孩子難以理解。本講只要求孩子初步認(rèn)識格點(diǎn)面積公式，掌握格點(diǎn)面積公式的應(yīng)用，到初中還會進(jìn)一步學(xué)習(xí)皮克定理。
2、
【解析】：
圖①是個平行四邊形，周界上有10個格點(diǎn)，圖內(nèi)有4個格點(diǎn)，根據(jù)格點(diǎn)面積公式，圖①的面積為：4+10÷2-1=8；
圖②是個梯形，周界上有8個格點(diǎn)，圖內(nèi)有2個格點(diǎn)，根據(jù)格點(diǎn)面積公式，圖②的面積為：2+8÷2-1=5；
圖③是個三角形，周界上有6個格點(diǎn)，圖內(nèi)有4個格點(diǎn)，根據(jù)格點(diǎn)面積公式，圖③的面積為：4+6÷2-1=6；
以上3個圖形都是規(guī)則圖形，但四年級學(xué)生還沒有學(xué)過這3種圖形的面積計(jì)算，不能用面積公式計(jì)算。
圖④是個六邊形，周界上有8個格點(diǎn)，圖內(nèi)有9個格點(diǎn)，根據(jù)格點(diǎn)面積公式，圖④的面積為：9+8÷2-1=12。
這四個圖形也可以用數(shù)格子的方法計(jì)算面積。
3、
下圖中喇叭、小貓、小狗的面積各是多少？
【解析】：
這三個圖形都適合用格點(diǎn)面積公式計(jì)算面積。
喇叭周界上有8個格點(diǎn)，圖內(nèi)沒有格點(diǎn)，面積為：0+8÷2-1=3；
小貓周界上有20個格點(diǎn)，圖內(nèi)有2個格點(diǎn)，面積為：2+20÷2-1=11；
小狗圖案可以看著是兩個格點(diǎn)多邊形組成，先分別求出每個格點(diǎn)多邊形的面積，再求出總面積。
軀干面積：0+12÷2-1=5；
尾巴面積：0+4÷2-1=1；
總面積：5+1=6。
像小狗圖案這樣，由兩個或兩個以上獨(dú)立的格點(diǎn)多邊形拼成的多邊形，要求其總面積，一般先求出每個獨(dú)立多邊形的面積，再求和，以免發(fā)生漏數(shù)多個獨(dú)立圖形公共格點(diǎn)的錯誤。
下面是一個漂亮禮盒的平面圖，請你求出它的面積。
4、
【解析】：
這個禮盒平面圖是由3個獨(dú)立的格點(diǎn)多邊形組成的。
左邊三角形面積可以用皮克公式求出：4+4÷2-1=5；
右邊三角形面積可以用皮克公式求出：2+6÷2-1=4；
下面長方形長為6、寬為3，可以直接用長方形面積公式算出面積：6×3=18；
所以上圖總面積為：5+4+18=27。
5、你知道下圖中共有多少個圖形嗎？每個圖形的面積各是多少？
【解析】：
這里所說的圖形既包括凸多邊形，也包括凹多邊形。圖中有8個三角形： AEC,AED,ADC,ABD,ABC,EBD,EBC,DBC；有3個四邊形：ADBC,ABDC,ABCD。
可以用皮克公式算出每個圖形的面積，例如四邊形ADBC的面積為：
21+8÷2-1=24。
其它圖形的面積：（略）。
