計數之插板法經典例題六

　　例．現有10個完全相同的球全部分給7個班級，每班至少1個球，問共有多少種不同的分法?

　　【解析】：題目中球的分法共三類：

　　第一類：有3個班每個班分到2個球，其余4個班每班分到1個球。其分法種數為。

　　第二類：有1個班分到3個球，1個班分到2個球，其余5個班每班分到1個球。其分法種數。

　　第三類：有1個班分到4個球，其余的6個班每班分到1個球。其分法種數。

　　所以，10個球分給7個班，每班至少一個球的分法種數為：。

　　由上面解題過程可以明顯感到對這類問題進行分類計算，比較繁鎖，若是上題中球的數目較多處理起來將更加困難，因此我們需要尋求一種新的模式解決問題，我們創設這樣一種虛擬的情境——插板。

　　將10個相同的球排成一行，10個球之間出現了9個空檔，現在我們用“檔板”把10個球隔成有序的7份，每個班級依次按班級序號分到對應位置的幾個球（可能是1個、2個、3個、4個），借助于這樣的虛擬“檔板”分配物品的方法稱之為插板法。

　　由上述分析可知，分球的方法實際上為檔板的插法：即是在9個空檔之中插入6個“檔板”（6個檔板可把球分為7組），其方法種數為。

　　由上述問題的分析解決看到，這種插板法解決起來非常簡單，但同時也提醒各位考友，這類問題模型適用前提相當嚴格，必須同時滿足以下3個條件：

　　①所要分的元素必須完全相同；

　　②所要分的元素必須分完，決不允許有剩余；

　　③參與分元素的每組至少分到1個，決不允許出現分不到元素的組。