從數(shù)數(shù)與計數(shù)中，可以發(fā)現(xiàn)重要的算術(shù)運算定律．

　　例1 數(shù)一數(shù)，下面圖形中有多少個點？

　　解：方法1：從上到下一行一行地數(shù)，見下圖．

　　點的總數(shù)是：

　　5+5+5+5=5×4．

　　方法2：從左至右一列一列地數(shù)，見下圖．

　　點的總數(shù)是：4+4+4+4+4=4×5．

　　因為不論人們怎樣數(shù)，點數(shù)的多少都是一定的，不會因為數(shù)數(shù)的方法不同而變化．所以應(yīng)有下列等式成立：

　　5×4=4×5

　　從這個等式中，我們不難發(fā)現(xiàn)這樣的事實：

　　兩個數(shù)相乘，乘數(shù)和被乘數(shù)互相交換，積不變．

　　這就是乘法交換律．

　　正因為這樣，在兩個數(shù)相乘時，以后我們也可以不再區(qū)分哪個是乘數(shù)，哪個是被乘數(shù)，把兩個數(shù)都叫做“因數(shù)”，因此，乘法交換律也可以換個說法：

　　兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變．

　　如果用字母a、b表示兩個因數(shù)，那么乘法交換律可以表示成下面的形式：a×b=b×a．

　　方法3：分成兩塊數(shù)，見右圖．

　　前一塊4行，每行3個點，共3×4個點．

　　后一塊4行，每行2個點，共2×4個點．

　　兩塊的總點數(shù)=3×4+2×4．

　　因為不論人們怎樣數(shù)，原圖中總的點數(shù)的多少都是一定的，不會因為數(shù)數(shù)的方法不同而變化．所以應(yīng)有下列等式成立：

　　3×4+2×4=5×4．

　　仔細觀察圖和等式，不難發(fā)現(xiàn)其中三個數(shù)的關(guān)系：

　　3+2=5

　　所以上面的等式可以寫成：

　　3×4+2×4=（3+2）×4

　　也可以把這個等式調(diào)過頭來寫成：

　　（3+2）×4=3×4+2×4．

　　這就是乘法對加法的分配律．

　　如果用字母a、b、c代表三個數(shù)，那么乘法對加法的分配律可以表示成下面的形式：

　　（a+b）×c=a×c+b×c

　　分配律的意思是說：兩個數(shù)相加之和再乘以第三數(shù)的積等于第一個數(shù)與第三個數(shù)的積加上第二個數(shù)與第三個數(shù)的積之和．

　　進一步再看，分配律是否也適用于括號中是減法運算的情況呢？請看下面的例子：

　　計算（3-2）×4和3×4-2×4．

　　解：（3-2）×4=1×4=4

　　3×4-2×4=12-8=4．

　　兩式的計算結(jié)果都是4，從而可知：

　　（3-2）×4=3×4-2×4

　　這就是說，這個分配律也適用于一個數(shù)與另一個數(shù)的差與第三個數(shù)相乘的情況．

　　如果用字母a、b、c（假設(shè)a>b）表示三個數(shù)，那么上述事實可以表示如下：（a-b）×c=a×c-b×c．

　　正因為這個分配律對括號中的“+”和“-”號都成立，于是，通常人們就簡稱它為乘法分配律．

　　例2 數(shù)一數(shù)，下左圖中的大長方體是由多少個小長方體組成的？

　　解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見上右圖．

　　第一層 4×2個

　　第二層 4×2個

　　第三層 4×2個

　　三層小長方體的總個數(shù)（4×2）×3個．

　　方法2：從左至右一排一排地數(shù)，見下圖．

　　第一排 2×3個

　　第二排 2×3個

　　第三排 2×3個

　　第四排 2×3個

　　四排小長方體的總個數(shù)為（2×3）×4．

　　若把括號中的2×3看成是一個因數(shù)，就可以運用乘法交換律，寫成下面的形式：4×（2×3）．

　　因為不論人們怎樣數(shù)，原圖中小長方體的總個數(shù)是一定的，不會因為數(shù)數(shù)的方法不同而變化．把兩種方法連起來看，應(yīng)有下列等式成立：（4×2）×3=4×（2×3）．

　　這就是說在三個數(shù)相乘的運算中，改變相乘的順序，所得的積相同．

　　或是說，三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘再乘以第三個數(shù)，或者先把后兩個數(shù)相乘，再去乘第一個數(shù)，積不變，這就是乘法結(jié)合律．

　　如果用字母a、b、c表示三個數(shù)，那么乘法結(jié)合律可以表示如下：（a×b）×c=a×（b×c）．

　　巧妙地運用乘法交換律、分配律和結(jié)合律，可使得運算變得簡潔、迅速．

　　從數(shù)數(shù)與計數(shù)中，還可以發(fā)現(xiàn)巧妙的計算公式．

　　例3 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點？

　　解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見下圖．

　　總點數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．

　　方法2：補上一個同樣的三角形點群（但要上下顛倒放置）和原有的那個三角形點群共同拼成一個長方形點群，則顯然有下式成立（見下圖）：

　　三角形點數(shù)=長方形點數(shù)÷2

　　因三角形點數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9

　　而長方形點數(shù)=10×9=（1+9）×9

　　代入上面的文字公式可得：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9

　　=（1+9）×9÷2=45．

　　進一步把兩種方法聯(lián)系起來看：

　　方法1是老老實實地直接數(shù)數(shù)．

　　方法2可以叫做“拼補法”．經(jīng)拼補后，三角形點群變成了長方形點群，而長方形點群的點數(shù)就可以用乘法算式計算出來了．

　　即1+2+3+4+5+6+7+8+9

　　=（1+9）×9÷2．

　　這樣從算法方面講，拼補法的作用是把一個較復(fù)雜的連加算式變成了一個較簡單的乘除算式了．這種方法在700多年前的中國的古算書上就出現(xiàn)了．