分析與解答：

　　直接畫出10個圓不是好辦法，先考慮一些簡單情況。

　　一個圓最多將平面分為2部分；

　　二個圓最多將平面分為4部分；

　　三個圓最多將平面分為8部分；

　　當第二個圓在第一個圓的基礎上加上去時，第二個圓與第一個圓有2個交點，這兩個交點將新加的圓弧分為2段，其中每一段圓弧都將所在平面的一分為二，所以所分平面部分的數在原有的2部分的基礎上增添了2部分。因此，二個圓最多將平面分為2＋2＝4部分。

　　同樣道理，三個圓最多分平面的部分數是二個圓分平面為4部分的基礎上增加4部分。因此，三個圓最多將平面分為2＋2＋4＝8部分。

　　由此不難推出：畫第10個圓時，與前9個圓最多有9×2＝18個交點，第10個圓的圓弧被分成18段，也就是增加了18個部分。因此，10個圓最多將平面分成的部分數為：

　　2＋2＋4＋6＋…＋18

　　＝2＋2×（1＋2＋3＋…＋9）

　　＝2＋2×9×（9＋1）÷2

　　＝92

　　類似的分析，我們可以得到，n個圓最多將平面分成的部分數為：

　　2＋2＋4＋6＋…＋2（n－1）

　　＝2＋2×[1＋2＋3＋…＋（n－1）]

　　＝2＋n（n－1）

　　＝n²－n＋2