我們學過的常用運算有：+、-、×、÷等.
如：2+3=5
2×3=6
都是2和3，為什么運算結果不同呢?主要是運算方式不同，實際是對應法則不同.可見一種運算實際就是兩個數與一個數的一種對應方法，對應法則不同就是不同的運算.當然，這個對應法則應該是對任意兩個數，通過這個法則都有一個唯一確定的數與它們對應.只要符合這個要求，不同的法則就是不同的運算.在這一講中，我們定義了一些新的運算形式，它們與我們常用的“+”，“-”，“×”，“÷”運算不相同.
我們先通過具體的運算來了解和熟悉“定義新運算”.
例1 設a、b都表示數，規定a△b=3×a—2×b，
①求 3△2， 2△3;
②這個運算“△”有交換律嗎?
③求(17△6)△2，17△(6△2);
④這個運算“△”有結合律嗎?
⑤如果已知4△b=2，求b.
分析解定義新運算這類題的關鍵是抓住定義的本質，本題規定的運算的本質是：用運算符號前面的數的3倍減去符號后面的數的2倍.解：① 3△2= 3×3-2×2=9-4= 5
2△3=3×2-2×3=6-6=0.
②由①的例子可知“△”沒有交換律.
③要計算(17△6)△2，先計算括號內的數，有：17△6=3×17-2×6=39;再計算第二步
39△2=3 × 39-2×2=113，
所以(17△6)△2=113.
對于17△(6△2)，同樣先計算括號內的數，6△2=3×6-2×2=14，其次
17△14=3×17-2×14=23，
所以17△(6△2)=23.
④由③的例子可知“△”也沒有結合律.⑤因為4△b=3×4-2×b=12-2b，那么12-2b=2，解出b=5.
例2 定義運算※為a※b=a×b-(a+b)，①求5※7，7※5;
②求12※(3※4)，(12※3)※4;
③這個運算“※”有交換律、結合律嗎?④如果3※(5※x)=3，求x.
解：① 5※7=5×7-(5+7)=35-12=23，7※ 5= 7×5-(7+5)=35-12=23.
②要計算12※(3※4)，先計算括號內的數，有：3※4=3×4-(3+4)=5，再計算第二步12※5=12×5-(12+5)=43，
所以 12※(3※4)=43.
對于(12※3)※4，同樣先計算括號內的數，12※3=12×3-(12+3)=21，其次
21※4=21×4-(21+4)=59，所以(12※ 3)※4=59.③由于a※b=a×b-(a+b);
b※a=b×a-(b+a)
=a×b-(a+b)(普通加法、乘法交換律)
所以有a※b=b※a，因此“※”有交換律.
由②的例子可知，運算“※”沒有結合律.
④5※x=5x-(5+x)=4x-5;
3※(5※x)=3※(4x-5)
=3(4x-5)-(3+4x-5)
=12x-15-(4x-2)
= 8x- 13
那么 8x-13=3
解出x=2.
③這個運算有交換律和結合律嗎?
的觀察，找到規律：
例5 x、y表示兩個數，規定新運算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均為自然數，已知 1*2=5，(2*3)△4=64，求(1△2)*3的值.
分析 我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求1△2)*3的值，首先我們要計算1△2，根據“△”的定義：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要計算出k的值.k值求出后，l△2的值也就計算出來了，我們設1△2=a.
(1△2)*3=a*3，按“*”的定義： a*3=ma+3n，在只有求出m、n時，我們才能計算a*3的值.因此要計算(1△2)* 3的值，我們就要先求出 k、m、n的值.通過1*2 =5可以求出m、n的值，通過(2*3)△4=64求出 k的值.
解：因為1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n
=5.又因為m、n均為自然數，所以解出：
①當m=1，n=2時：
(2*3)△4=(1×2+2×3)△4
=8△4=k×8×4=32k
有32k=64，解出k=2.
②當m=3，n=1時：
(2*3)△4=(3×2+1×3)△4
=9△4=k×9×4=36k
所以m=l，n=2，k=2.
(1△2)*3=(2×1×2)*3
=4*3
=1×4+2×3
=10.
在上面這一類定義新運算的問題中，關鍵的一條是：抓住定義這一點不放，在計算時，嚴格遵照規定的法則代入數值.還有一個值得注意的問題是：定義一個新運算，這個新運算常常不滿足加法、乘法所滿足的運算定律，因此在沒有確定新運算是否具有這些性質之前，不能運用這些運算律來解題.
