例3 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點?
解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見下圖.
總點數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.
方法2：補上一個同樣的三角形點群(但要上下顛倒放置)和原有的那個三角形點群共同拼成一個長方形點群，則顯然有下式成立(見下圖)：
三角形點數(shù)=長方形點數(shù)÷2
因三角形點數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9
而長方形點數(shù)=10×9=(1+9)×9
代入上面的文字公式可得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9
=(1+9)×9÷2=45.
進一步把兩種方法聯(lián)系起來看：
方法1是老老實實地直接數(shù)數(shù).
方法2可以叫做“拼補法”.經(jīng)拼補后，三角形點群變成了長方形點群，而長方形點群的點數(shù)就可以用乘法算式計算出來了.
即1+2+3+4+5+6+7+8+9
=(1+9)×9÷2.
這樣從算法方面講，拼補法的作用是把一個較復(fù)雜的連加算式變成了一個較簡單的乘除算式了.這種方法在700多年前的中國的古算書上就出現(xiàn)了.
再進一步，若脫離開圖形(點群)的背景，純粹從數(shù)的方面找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實：
這個等式的左邊就是從1開始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，第一個數(shù)1又叫首項，最后一個數(shù)9叫末項，共有9個數(shù)又可以說成共有9項，這樣，等式的含義就可以用下面的語言來表述：
從1開始的連續(xù)自然數(shù)前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)的積的一半.或是寫成下面的文字式：
和=(首項+末項)×項數(shù)÷2
這個文字式通常又叫做等差數(shù)列求和公式.
例4 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點?
解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見下圖：
總點數(shù)=2+3+4+5+6=20.
方法2：補上一個同樣的梯形點群，但要上下顛倒放置，和原圖一起拼成一個長方形點群如下圖所示：
由圖可見，有下列等式成立：
梯形點數(shù)=長方形點數(shù)÷2.
因為梯形點數(shù)=2+3+4+5+6
而長方形點數(shù)=8×5=(2+6)×5
代入上面的文字式，可得：
2+3+4+5+6=(2+6)×5÷2
與例1類似，我們用拼補法得到了一個計算梯形點群總點數(shù)的較為簡單的公式.
再進一步，若脫離開圖形(點群)的背景純粹從數(shù)的方面找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實：
這個等式的左邊就是一個等差數(shù)列的求和式，它的首項是2，末項是6，公差是1，項數(shù)是5.這樣這個等式的含義就可以用下面的語言來表述：
等差數(shù)列前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)的積的一半.
寫成下面較簡化的文字式：
和=(首項+末項)×項數(shù)÷2
這就是等差數(shù)列的求和公式.
例5 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個小三角形?
解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見下圖.
小三角形總數(shù)=1+3+5+7=16個.
方法2：補上一個同樣的圖形，但要上下顛倒放置、和原來的一起拼成一個大平行四邊形如下圖所示.
顯然平行四邊形包含的小三角形個數(shù)等于原圖中的大三角形所包含的小三角形個數(shù)的兩倍，即下式成立.
大三角形中所含=平行四邊形所含÷2
平行四邊形所含=8×4=(1+7)×4(個)
大三角形中所含=1+3+5+7=16
代入上述文字式：
1+3+5+7=(1+7)×4÷2
這樣，我們就得到了一個公式：
小三角形個數(shù)=(第一層的數(shù)+最末層的數(shù))×層數(shù)÷2
脫離開圖形的背景，純粹從數(shù)的方面進行考察，找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實：
等式左邊就表示一個等差數(shù)列的前幾項的和，它的首項是1，末項是7，公差是2，項數(shù)是4.這樣這個等式的含義也就可以用下面的語言來表述：
等差數(shù)列前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)之積的一半.
寫成較簡單的文字式：
和=(首項+末項)×項數(shù)÷2.
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