例10   8.4÷0.7

（遼寧省沈陽市）

　　【分析1】把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，按分?jǐn)?shù)除法法則計算.

　　【解法1】原式=.

　　【分析2】根據(jù)除法性質(zhì)，把小數(shù)化成整數(shù)，再進(jìn)行口算.

　　【解法2】原式=（8.4×10）÷（0.7×10）

　　=84÷7=12.

　　【分析3】根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，把除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)計算.

　　【解法3】原式=

　　【評注】以上三種解法都比列豎式計算簡便，因為都可充分利用口算，提高運算速度.其中解法3為最好.

　　例11  125×16

（湖北省武漢市）

　　【分析1】把16轉(zhuǎn)化為8×2進(jìn)行計算.

　　【解法1】原式=125×8×2=1000×2=2 000.

　　【分析2】把125轉(zhuǎn)化為

　　【解法2】原式=×16=2 000

　　【分析3】根據(jù)積不變的規(guī)律簡算.

　　【解法3】原式=（125×8）×（16÷8）

　　=1000×2=2 000.

　　【評注】以上三種解法都是抓住“125×8=1000”的特點，使計算簡便.其中解法2最佳.

　　例12 

（湖南省長沙市東區(qū)）

　　【分析1】按分?jǐn)?shù)除法法則進(jìn)行計算.

　　【解法1】==5

　　【分析2】用分子相除的商作分子，分母相除的商作分母.

　　【解法2】原式=.

　　【評注】以上兩種解法，解法2最簡捷，但這種解法必須是在被除數(shù)的分子、分母分別是除數(shù)的分子、分母的倍數(shù)的情況下，才能使計算簡便.

　　例13

（天津市河北區(qū)）

　　【分析1】按四則運算順序進(jìn)行計算.

　　【解法1】原式=.

　　【分析2】把除法全部轉(zhuǎn)化為乘法，直接約分計算.

　　【解法2】原式=.

　　【分析3】根據(jù)題目中數(shù)的特點，合理地運用乘除混合運算的交換性質(zhì)進(jìn)行計算.

　　【解法3】原式=

　　　　　　　　=1×1=1

　　【評注】乘除混合的分?jǐn)?shù)式題，一般是把它轉(zhuǎn)化為連乘的形式，直接約分，最后求出積，如解法2，但還要注意抓數(shù)的特點進(jìn)行計算，如解法3就更為簡捷.

　　例14   [×（2.37+9.2）+7.63×]÷

（湖北省武漢市武昌區(qū)）

　　【分析1】按四則混合運算順序計算.

　　【解法1】原式=

　　　　　　　　=

　　　　　　　　=.

　　【分析2】運用乘法分配律，簡化中括號內(nèi)的運算.

　　【解法2】原式=[×（2.37+7.63+9.2）]÷

　　　　　　　　=[×19.2]÷

　　　　　　　　=16×=9.6

　　【分析3】把“÷”轉(zhuǎn)化為“×”，再運用乘法分配律，使計算簡便.

　　【解法3】原式=[×（2.37+9.2）+7.63×]×

　　　　　　　　=（2.37+9.2）××+7.63××

　　　　　　　　=（2.37+9.2）×+7.63×

　　　　　　　　=（2.37+7.63+9.2）×

　　（再次運用分配律）

　　　　　　　　=19.2×=9.6.

　　【評注】在四則混合運算中，根據(jù)題目中數(shù)字的特點，靈活地運用運算定律和性質(zhì)，這是使四則混合運算簡便的關(guān)鍵.以上解法2和解法3都比解法1簡便，其中以解法2為最佳解法.

　　例15  化簡

（河北省青縣）

　　【分析1】根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把分子和分母兩部分都乘以這兩部分中分?jǐn)?shù)的所有分母的最小公倍數(shù)12，再運用乘法分配律化簡.

　　【解法1】原式=

　　　　　　　　=7.

　　【分析2】根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，把繁分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法算式，再進(jìn)行計算.

　　【解法2】原式=

　　　　　　　　=.

　　【分析3】將繁分?jǐn)?shù)的分子和分母兩部分分別進(jìn)行計算，再根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系把繁分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法進(jìn)行計算.

　　【解法3】原式==.

　　【評注】化簡繁分?jǐn)?shù)，一般采用解法3的方法進(jìn)行，但也要注意觀察題目的特點，運用運算定律和性質(zhì)使計算更簡便.如解法1就是抓住了題目中數(shù)字相同、只有運算符號不同的特點，運用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)和乘法分配律，使計算簡便。

　　例16

（北京市海淀區(qū)）

　　【分析1】 把分子和分母兩部分分別進(jìn)行計算.

　　【解法1】 原式=.

　　【分析2】根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，使繁分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法，再根據(jù)除法運算性質(zhì)使計算簡便.

　　【解法2】原式=

　　　　　　　　=

　　　　　　　　=

　　【評注】此類題一般采用解法2為好，因為這種方法能最大程度地使分子和分母進(jìn)行約分，從而使計算簡便.

　　例17 化簡

（天津市和平區(qū)）

　　【分析1】按化簡繁分?jǐn)?shù)的一般方法，把分子和分母兩部分分別計算出結(jié)果，然后用分子除以分母求出結(jié)果.

　　【解法1】原式=

　　【分析2】把分子和分母兩部分中的小數(shù)，全部化成分?jǐn)?shù)進(jìn)行計算.

　　【解法2】原式=

　　　　　　　　=

　　【分析3】根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把繁分?jǐn)?shù)的分子和分母兩部分直接約簡.

　　【解法3】原式=

　　【分析4】根據(jù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，把繁分?jǐn)?shù)的分子和分母兩部分都擴(kuò)大10 000倍，使小數(shù)全部轉(zhuǎn)化為整數(shù)，然后再進(jìn)行約分化簡.

　　【解法4】原式=

　　【分析5】運用乘法交換律，使繁分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為另外幾個繁分?jǐn)?shù)的乘積形式，再根據(jù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，使各個繁分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為分子和分母都是整數(shù)的分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行約分計算.

　　【解法5】原式=

　　　　　　　　=

　　　　　　　　=

　　【分析6】把繁分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法，再運用除法的運算性質(zhì)簡算.

　　【解法6】原式=(3.1×0.04×1.7)÷（0.85×1.4×6.2）

　　=（3.1÷6.2）×（0.04÷1.4）×（1.7÷0.85）

　　=.

　　【評注】以上六種解法中，解法3和解法4是比較簡便的，但解法3在計算過程中容易出現(xiàn)錯誤，原因就是小數(shù)太多.解法4把小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，就減小了出錯的可能性，因此，解法4為最佳解法.

　　例18 化簡比2.25∶

（廣東省廣州市越秀區(qū)）

　　【分析1】根據(jù)比的性質(zhì)，把比的前項和后項同時擴(kuò)大8倍，再進(jìn)行化簡.

　　【解法1】原式=（2.25×8）∶（×8）

　　　　　　　　=18∶3=6∶1

　　【分析2】把2.25轉(zhuǎn)化為，再按求比值的方法進(jìn)行化簡.

　　【解法2】原式=÷==6∶1

　　【分析3】把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，再根據(jù)比的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡.

　　【解法3】原式=2.25∶0.375=2250∶375

　　　　　　　　=6∶1.

　　【評注】化簡比的方法，一般是運用比的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡.如果前后項都是分?jǐn)?shù)，一般是運用求比值的方法進(jìn)行化簡；如果前后項都是小數(shù)，或轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)比，或轉(zhuǎn)化成整數(shù)比，再進(jìn)行化簡.總之要結(jié)合實際情況靈活選用方法，怎樣簡便怎樣算.

　　例19 用111的約數(shù)組成一個比例是（ ）.

（河南省鄭州市）

　　【分析1】因為111的約數(shù)有1、3、37和111，所以本題實際上就是用這四個數(shù)做比例的項，組成比例.

　　【解法1】因為1∶37=，3∶111=，根據(jù)比例的意義得：1∶37=3∶111.

　　【分析2】由3×37=1×111，根據(jù)比例的基本性質(zhì)求得比例式.

　　【解法2】37∶1=111∶3.

　　【分析3】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，將解法1中的比例內(nèi)項交換位置即得新比例.

　　【解法3】1∶3=37∶111.

　　【分析4】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，將解法1中比例的外項交換位置即得新比例.

　　【解法4】111∶37=3∶1.

　　【分析5】根據(jù)等式左右兩邊相等的特點，分別把解法1、2、3、4的比例式左右兩邊交換位置，組成新比例.

　　【解法5】3∶111=1∶37；111∶3=37∶1，37∶111= 1∶3；3∶1=111∶37.

　　【評注】組比例一般有兩種方法：一是根據(jù)比例的意義組比例，如解法1；二是根據(jù)比例的基本性質(zhì)組比例，如解法2.同時，由一個比例式可轉(zhuǎn)換成八個比例式，如以上的八個比例式都是一個比例式轉(zhuǎn)換而來的.

　　例20 把一個減法算式的被減數(shù)、減數(shù)與差相加，和是180，減數(shù)與差的比是1∶2.減數(shù)是（ ），差是（ ）.

（湖南省長沙市東區(qū)）

　　【分析1】因為“被減數(shù)=差+減數(shù)”，且減數(shù)∶差=1∶2，而被減數(shù)+減數(shù)+差=180，所以180對應(yīng)的份數(shù)是（1+2）+1+2=6（份）.因此，運用歸一法可先求減數(shù)，再求差.

　　【解法1】減數(shù)：180÷（1+ 2+ 1+ 2）

　　=180÷6=30

　　差：30×2=60.

　　【分析2】由分析1，再運用按比例分配方法進(jìn)行解答.

　　【解法2】減數(shù)：180×

　　　　　　　　　=180×=30.

　　差：180×

　　　　=180×=60.

　　【分析3】由分析1，運用方程解題.

　　【解法3】設(shè)減數(shù)為x，則差為2x.

　　（1+2）x+x+2x=180

　　解之得：x=30

　　　　　　2x=2×30=60.

　　【分析4】由分析1可知，180=被減數(shù)×2.由此可求出被減數(shù)：180÷2=90；又因為減數(shù)：差=1∶2，再運用按比例分配方法，可先求減數(shù)，再求差.

　　【解法4】減數(shù)：180÷2×=30.

　　差：180÷2×=60.

　　【評注】以上四種解法，解法4的分析思路清晰直接，解答方法也最為簡捷，是本題的最佳解法.

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