三、余數

　　在整數除法運算中，除了前面說過的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就產生了余數.通常的表示是：

　　65÷3＝21…… 2， 38÷5＝7…… 3.

　　上面兩個算式中2和3就是余數，寫成文字是

　　被除數÷除數=商……余數.

　　上面兩個算式可以寫成

　　65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.

　　也就是

被除數=除數×商+余數.

　　通常把這一算式稱為帶余除式，它使我們容易從“余數”出發去考慮問題，這正是某些整數問題所需要的.

　　特別要提請注意：在帶余除式中，余數總是比除數小，這一事實，解題時常作為依據.

　　例17 5397被一個質數除，所得余數是15.求這個質數.

　　解：這個質數能整除

　　5397-15＝5382，

　　而 5382＝2×3¹⁹⁹⁷×13×23.

　　因為除數要比余數15大，除數又是質數，所以它只能是23.

　　當被除數較大時，求余數的一個簡便方法是從被除數中逐次去掉除數的整數倍，從而得到余數.

　　例18 求645763除以7的余數.

　　解：可以先去掉7的倍數630000余15763，再去掉14000還余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余數是6.這個過程可簡單地記成

　　645763→15763→1763→363→13→6.

　　如果你演算能力強，上面過程可以更簡單地寫成：

　　645763→15000→1000→6.

　　帶余除法可以得出下面很有用的結論：

　　如果兩個數被同一個除數除余數相同，那么這兩個數之差就能被那個除數整除.

　　例19 有一個大于1的整數，它除967，1000，2001得到相同的余數，那么這個整數是多少？

　　解：由上面的結論，所求整數應能整除 967，1000，2001的兩兩之差，即

　　1000-967＝33＝3×11，

　　2001-1000＝1001＝7×11×13，

　　2001-967＝1034＝2×11×47.

　　這個整數是這三個差的公約數11.

　　請注意，我們不必求出三個差，只要求出其中兩個就夠了.因為另一個差總可以由這兩個差得到.

　　例如，求出差1000-967與2001-1000，

　　那么差

　　2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）

　　＝1001＋33

　　＝1034.

　　從帶余除式，還可以得出下面結論：

　　甲、乙兩數，如果被同一除數來除，得到兩個余數，那么甲、乙兩數之和被這個除數除，它的余數就是兩個余數之和被這個除數除所得的余數.

　　例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余數是5＋9＝14被13除的余數1.