數(shù)論問題：奇數(shù)、偶數(shù)試題答案

    1、至少有6個偶數(shù)。

　　2、奇數(shù)。解：1234÷2=617，所以在任取的1234個連續(xù)自然數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)，所以它們的總和是奇數(shù)。

　　3、33。提示：這串?dāng)?shù)排列的規(guī)律是以“奇奇偶”循環(huán)。

　　4、不能。

　　如果1010能表示成10個連續(xù)自然數(shù)之和，那么中間2個數(shù)的和應(yīng)當(dāng)是1010÷5=202。但中間2個數(shù)是連續(xù)自然數(shù)，它們的和應(yīng)是奇數(shù)，不能等于偶數(shù)202。所以，1010不能寫成10個連續(xù)自然數(shù)之和。

　　5、不能。提示：仿例3。

　　6、證：設(shè)得7分的學(xué)生勝了x1局，敗了y1局，得 20分的學(xué)生勝了x2局，敗了y2局。由得分情況知：

　　x1-y1=7，x2-y2＝20。

　　如果比賽過程中無平局出現(xiàn)，那么由每人比賽的場次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶數(shù)。另一方面，由x1- y1=7知x1+y2為奇數(shù)，由x2-y2=20知x2+y2為偶數(shù)，推知x1+y1+x2+y2為奇數(shù)。這便出現(xiàn)矛盾，所以比賽過程中至少有一次平局。

　　7、奇數(shù)。解：黑板上所有數(shù)的和S＝1+2+…＋909是一個奇數(shù)，每操作一次，總和S減少了a+b-（a-b）=2b，這是一個偶數(shù)，說明總和S的奇偶性不變。由于開始時S是奇數(shù)，因此終止時S仍是一個奇數(shù)。

　　8、偶數(shù)。

　　解：我們知道，對于整數(shù)a與b，a+b與a-b的奇偶性相同，由此可知，上述計算的第二步中，32個數(shù)。

　　a1-a2，a3-a4，…，a63-a64，

　　分別與下列32個數(shù)。

　　a1+a2，a3+a4，…，a63+a64，

　　有相同的奇偶性，這就是說，在只考慮奇偶性時，可以用“和”代替“差”，這樣可以把原來的計算過程改為

　　第一步：a1，a2，a3，a4，…，a61，a62，a63，a64；

　　第一步：a1+a2，a3+a4，…，a61+a62，a63+a64；

　　第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64；

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　　最后一步所得到的數(shù)是a1+a2+…+a63+a64。由于a1，a2，…，a64是1，2，…，64的一個排列，因此它們的總和為1+2+…+64是一個偶數(shù)，故最后一個整數(shù)是偶數(shù)