(二)、主要研究成果

　　楊輝的數學研究與數學教育工作之重點在于改進籌算乘除計算技術，總結各種乘除捷算法，這是由當時的社會狀況決定的。唐代中期以后，社會經濟得到較大發展，手工業和商業交易都具有相當的規模，因而，人們在生產、生活中需要數學計算的機會，較前大大增加，這種情況迫切要求數學家們為人們提供便于掌握、快捷準確的計算方法。為適應社會對數學的這種需求，中晚唐時期出現了一些實用的算術書籍。但是，這些書籍除了《韓延算術》，被宋人誤認為《夏侯陽算經》而刊刻流傳到現在外，都已失傳。《韓延算術》大約編寫于公元770年前后，書中介紹了很多乘除捷法的例子。比如，某數乘以42可以化為某數乘以6，再乘以7；某數除以12可以化為某數除以2，再除以6。對于更復雜的問題可同樣處理。通過將乘數、除數分解為一位數，可以使運算在一行內實現，簡化了運算，提高了速度。韓延還介紹了其他一些簡捷算法。比如“身外添加四”、“隔位加二”。北京科學家沈括也總結了增成、重因等捷算法。

　　楊輝生活在南宋商業發達的蘇杭一帶，進一步發展了乘除捷算法。他說：“乘除者本鉤深致遠之法。《指南算法》以‘加減’、‘九歸’、‘求一’旁求捷徑，學者豈容不曉，宜兼而用之。”在前人的基礎上，他提出了“相乘六法”：一曰“單因”，即乘數為一位數的乘法；二曰“重因“，即乘數可分解為兩個一位數的乘積的乘法；三曰“身前因”，即乘數末位為一的兩位數乘法，比如257×21＝257×20十257，實際上，身前因就是通過乘法分配律將多位數乘法化為一位數乘法和加法來完成。四曰相乘，即通常的乘法；五曰“重乘”，就是乘數可分解為兩因數的積，作兩次相乘；六曰“損乘”，是一種以減代乘法，比如，當乘數為9、8、7時，可以10倍被乘數中，減去被乘數的—、二、三倍。楊輝還進一步發展了唐宋相傳的求一算法，總結出了“乘算加法五術”、“除算減法四術”。求一實際上就是通過倍、折、因將乘除數首位化為一，從而用加減代乘除。楊輝的“乘算加算加法五術”，即“加一位”、“加二位”、“重加”、“加隔位”、“連身加”。乘數為11至19的，用加一位；乘數為l0l至199的，用加二位法；乘數可分為兩因數的積，且可用加一或加二時，稱為重加；乘數為101至l09時，用隔位加；乘數為21至29、20l至299時，用連身加。例如，342×56的計算，用現代符號寫出，便是：342×56＝342×112十2＝(34200十342×l2)十2＝(34200十3420十342×2)十2。其“除算減法四木”即“減一位”、“減二位”、“重減”、“減隔位”，用法與乘算加法類似。

　　北宋初年出現的一種除法——增成法，在楊輝那里得到進一步的完善。增成法的優點在于用加倍補數的辦法避免了試商，但對于位數較多的被除數，運算比較繁復，后人改進了它，總結出了“九歸古括”，包含44句口訣。楊輝在其《乘除通變算寶》中引《九歸新括》口訣32句，分為“歸數求成十”、“歸數自上加”，“半而為五計”三類。

　　客觀上講，楊輝不遺余力改進計算技術，大大加快了運算工具改革的步伐。隨著籌算歌訣的盛行，運算速度大大加快，以至人們感覺到擺弄算籌跟不上口訣。在這樣的背景下，算盤便應運而生了，及至元末，已經廣為流行。

　　縱橫圖，即所謂的幻方。早在漢鄭玄《易緯注》及《數術記遺》都記載有“九宮”即三階幻方，千百年來一直被人披上神秘的色彩。楊輝創“縱橫圖”之名。在所著《續古摘奇算法》上卷作出了多種多樣的圖形。圖ll是四階縱橫圖；圖12是百子圖，即十階縱橫圖。其每行每列數之和為50—5(對角線數字之和不是505)；圖13是“聚八”圖，楊輝按“二十四子作三十二子用”設子的這種幻方共有四圈，每圈數字之和為100；圖14是“攢九”圖，用前33個自然數排列，達到“斜直周圍各一百四十七”的效果。楊輝不僅給出了這些圖的編造方法，而且對一些圖的一般構造規律有所認識，打破了幻方的神秘性。這是世界上對幻方最早的系統研究和記錄。自楊輝以后，明清兩代中算家關于縱橫圖的研究相繼不斷。

　　楊輝的另一重要成果是垛積術。這是楊輝繼沈括“隙積術”之后，關于高階等差級數求和的研究。在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中記敘了若干二階等差級數求和公式，其中除有一個即沈括的當童垛外，還有三角垛、四隅垛、方垛三式，用現今的記號表示就相當于下面三式：

　　上述三式可由沈括之芻童公式推出。

　　對數學重新分類也是楊輝的重要數學工作之一。楊輝在詳解《九章算術》的基礎上，專門增加了一卷“纂類”，將《九章》的方法和246個問題按其方法的性質重新分為乘除、分率、合率、互換、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。

　　楊輝不僅是一位著述甚豐的數學家，而且還是一位杰出的數學教育家。他一生致力于數學教育和數學普及，其著述有很多是為了數學教育和普及而寫。《算法通變本末》中載有楊輝專門為初學者制訂的“習算綱目”，它集中體現了楊輝的數學教育思想和方法。