l814年，李銳已患重病，此時(shí)他開始向弟子黎應(yīng)南講授開方與解方程的理論，斷斷續(xù)續(xù)地講了三年，其講稿就是后來的《開方說》。l8l7年夏，李銳病情惡化，臨終前囑托黎應(yīng)南務(wù)必將尚未定稿的《開方說》下卷寫好。1817年8月12日，正值創(chuàng)造盛年的李銳咯血身亡。時(shí)年僅48歲。

　　李銳去世后，黎應(yīng)南“謹(jǐn)遵先生遺命，依法推衍”。于1819年將《方程論》全部完成。

　　李銳的科學(xué)著作，主要的都被收集在《李氏遺書》之中。該書初刊于嘉慶年間，共11種18卷，其子目為：《召浩曰名考》、《三統(tǒng)術(shù)注》、《四分術(shù)注》、《乾象術(shù)注》、《奉元術(shù)注》、《占天術(shù)注》、《日法朔余強(qiáng)弱考》、《方程新術(shù)革》、《勾股算術(shù)細(xì)草》、《弧矢算術(shù)細(xì)草》、《開方說》。此外，他還著有《測(cè)圓海鏡細(xì)草》、《緝古算經(jīng)細(xì)草》、《補(bǔ)宋金六家術(shù)》；《回回歷元考》等書。

　　李銳在其學(xué)術(shù)活動(dòng)中集繼承與創(chuàng)造于—身。他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，主要有以下四個(gè)方面：

　　(一)編纂《疇人傳》

　　《疇人傳》是一部以歷法沿革為主線，以人物為核心的大型天文、數(shù)學(xué)家傳記，共收錄自遠(yuǎn)古至清初的中外歷算家3l6人。每一人物均由“傳”、“論”兩部分組成：“傳”主要是原始文獻(xiàn)的薈萃、“論”是編者對(duì)傳主的簡(jiǎn)短評(píng)語。沒有對(duì)中國(guó)古代天文、數(shù)學(xué)的全面了解和博覽群書的條件，是很難勝任這一任務(wù)的。李銳正是這部書的總體設(shè)計(jì)者和主要執(zhí)筆人。

　　作為該書名義上主編的阮元，提到其編輯過程時(shí)自云“供職內(nèi)外，公事頻繁”，而“元和學(xué)生李銳暨臺(tái)州學(xué)生周治平力居多”。類似的話在他為羅士林《續(xù)疇人傳》寫的序言和應(yīng)李銳子可玖寫的傳記中都一再重復(fù)。阮元以地方長(zhǎng)官的身份辦學(xué)刻書，先后冠其名出版的《經(jīng)籍纂詁》，《十三經(jīng)注疏》、《皇清經(jīng)解》等大部頭經(jīng)學(xué)著作無不出自其幕賓之手，此情自可推論到《疇人傳》上。阮自稱“本昧于天算”，又認(rèn)定李銳“深于天算術(shù)。江以南第一人也”，因而將《疇人傳》的具體工作交李銳來于是十分可能的。

　　從該書的具體內(nèi)容來看，“張壽王”、“劉洪”、“馬顯”、“昭素”、“周蹤”、“劉孝榮”、“衛(wèi)樸”、“姚舜輔”、“蔣友仁“王孝通”、“李德卿”、“譚玉”、“楊級(jí)”、“耶律履”、“貝琳”傳都與李銳有關(guān)著作中的文字完全相同；“虞劉”、“王處鈉”論中亦可見到“李尚之銳曰”等字樣，因而早就有人說：“(人傳)正傳成于阮氏，實(shí)乃元和李氏之筆”。

　　(二)整理古算書

　　乾隆年間編纂《四庫(kù)全書》，一大批久經(jīng)埋沒的珍貴古代學(xué)經(jīng)典得以重見天日，戴震、阮元、張敦仁等人都曾致力于羅各種“算經(jīng)十書”和宋元數(shù)學(xué)名著。然而這些古書歷經(jīng)輾傳抄或翻刻，訛文奪字迭出，所用術(shù)語又往往與當(dāng)時(shí)的不同，而校勘和注釋的任務(wù)是相當(dāng)艱巨的。

　　《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的代表作，現(xiàn)在公認(rèn)早期最的校注工作是1820年出版的李潢之《九章算術(shù)細(xì)草圖說》。而早在此之前，李銳就已先后完成《勾股算術(shù)細(xì)草》和《方新術(shù)草》二書，書成后都曾送李潢過目，有李潢的信為證：

　　“讀大著《方程新術(shù)草》一卷，正負(fù)相當(dāng)各率，一？自然，正從前傳刻之誤，闡古人未發(fā)之覆，愉快彌日。《股(算術(shù))細(xì)草》，前歲(1807)古愚太守(即張敦仁)見。

　　惠一本，條段各圖，細(xì)入毫芒，真精思大力之作也。”對(duì)照李潢和李銳關(guān)于勾股定理及其應(yīng)用的·說明，不難發(fā)現(xiàn)二者所用“條段各圖”幾乎雷同，尤其·是李潢書中關(guān)于劉微用“出入相補(bǔ)”法證明勾股定理的一段說明顯然是完全照搬李銳的。李潢書中關(guān)于．“方程新術(shù)”的解釋，基本上也是因襲李銳的著作。

　　李銳也曾撰寫《海島算經(jīng)細(xì)草》和《緝古算術(shù)衍》、二書均已失傳。但張敦仁有《緝古算術(shù)細(xì)草》傳世，李銳曾為之算校并作跋，有人“疑此細(xì)草即以《緝古算術(shù)衍》為蘭本，而擴(kuò)其意耳。”李銳又協(xié)助張敦仁完成《求一算術(shù)》和《開方補(bǔ)記》二書。

　　李銳還曾整理過《孫子算經(jīng)》、《測(cè)圓海鏡》、《益古演段》、《數(shù)書九章》、《四元玉鑒》、《楊輝算法》等。

　　(三)疏解調(diào)日法和求一術(shù)

　　調(diào)日法是中國(guó)古代天文學(xué)家用分?jǐn)?shù)來近似表達(dá)天文基本數(shù)據(jù)的一種數(shù)理方法，但是“元明以來疇人子弟，罔識(shí)古義，競(jìng)天知其說者。”李銳在讀《宋書·律歷志》的時(shí)候，注意到其中周瓊轉(zhuǎn)述“宋世何承天更以四十九分之二十六為強(qiáng)率，十七分之九為弱率，于強(qiáng)弱之際以求日法”的意義，他解釋道：何氏以26/49和19/17為上、下限，將朔望月的奇零部分表示為(26×15＋9×1)/(49×15＋17×1)＝399/752，即選取強(qiáng)、弱二率適當(dāng)?shù)募訖?quán)平均來近似表達(dá)觀測(cè)值，這就是調(diào)日法的本質(zhì)。上述分?jǐn)?shù)中分子叫作朔余，分母叫作日法。

　　以此為契機(jī)，李銳對(duì)51家古代歷法進(jìn)行了考察．試圖將每一歷法所給出的日法和朔余二值表示成上述帶權(quán)加成的形式，并以此推測(cè)它們是否應(yīng)用調(diào)日法而來。這一工作使調(diào)日法這—古代分?jǐn)?shù)近似法重新受到重視，被人稱為“尤為抉盡間奧，皆必傳之作，不但與秦氏書為羽翼也。”

　　但是從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，位于兩個(gè)既約分?jǐn)?shù)之間的任何分?jǐn)?shù)都可以表示為它們二者的帶權(quán)加成形式，因此僅以此來判定古代歷法的數(shù)據(jù)系由調(diào)日法而來是欠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹�況且由于精度所限和運(yùn)算之繁復(fù)，古代制歷者也不大可能全用這種累乘累加的方法來確定其日法和朔余。李銳大約感到了后一困難．他又創(chuàng)造了一種“有日法求強(qiáng)弱(數(shù))”的方法，其目的仍然是將朔余與日法的比值表示為26/49和9/17的帶權(quán)加成。若以A表示日法，x和y分別表示強(qiáng)、弱二數(shù)，李銳提出的問題相當(dāng)與求解二元一次不定方程：47x＋17y＝A，其術(shù)文提供了一種依賴于求一術(shù)的簡(jiǎn)捷算法，從而在中國(guó)數(shù)學(xué)史上第一次溝通了二元一次不定方程與同余式組這兩類問題之間的聯(lián)系。

　　(四)研究代數(shù)方程論

　　李銳對(duì)代數(shù)方程論的興趣發(fā)軔于對(duì)秦九韶、李冶等末元數(shù)學(xué)家著作的整理與研習(xí)，但其直接導(dǎo)因卻是汪萊在《衡齋算學(xué)》第五冊(cè)中對(duì)各類方程是否僅有一個(gè)正根的討論。在為汪萊所作的跋文中，他將汪萊所得到的96條“知不知”歸納為三條判定準(zhǔn)則，其中第一條相當(dāng)于說系數(shù)序列有一次變號(hào)的方程只有一個(gè)正根，第三條相當(dāng)于說系數(shù)序列有偶數(shù)次變號(hào)的方程不會(huì)只有一個(gè)正根；它們與l6世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)(G·CarJano)提出的兩個(gè)命題十分相似。

　　在《開方說》中，李銳則給出了更一般的陳述：“凡上負(fù)、下正，可開一數(shù)”，“上負(fù)、中正、下負(fù)，可開二數(shù)”，“上負(fù)、次正、次負(fù)、下正，可開三數(shù)或一數(shù)”，“上負(fù)、次正、次負(fù)、次正、下負(fù)，可開四數(shù)或二數(shù)”；推而廣之，他的意思相當(dāng)于說：(實(shí)系數(shù))數(shù)字方程所具有的正根個(gè)數(shù)等于其系數(shù)符號(hào)序列的變化數(shù)或者比此變化數(shù)少2(精確的陳述應(yīng)為“少一個(gè)偶數(shù)”)。這一認(rèn)識(shí)與法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒(R．Descartes)于l637年提出的判別方程正根個(gè)數(shù)的符號(hào)法則是不分伯仲的。

　　除了關(guān)于方程正根個(gè)數(shù)的判定法則之外，《開方說》中還有許多其他的重要成果。例如李銳首先引進(jìn)了負(fù)根和重根的概念；他又將方程的非正數(shù)解稱為“無數(shù)”，并聲稱“凡無數(shù)必兩，無一無數(shù)者”，這里隱約含著虛根共扼出現(xiàn)的思想。李銳又在整數(shù)范圍內(nèi)討論了二次方程和雙二次方程無實(shí)根的判別條件，創(chuàng)造了先求出一根首位再由變形方程續(xù)求其余位數(shù)字和其余根的“代開法”，還對(duì)末元算書中所包含的各種方程變形法，如倍根變形、縮根變形、減根變形、負(fù)根變形，逐一進(jìn)行了解釋并加以完善。

　　所有這些內(nèi)容，標(biāo)志著李銳在方程論領(lǐng)域的工作突破了中國(guó)古典代數(shù)學(xué)的窠臼，成為清代數(shù)學(xué)史上一個(gè)引人注目的理論成果。