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　　笛卡兒在數學上的杰出貢獻主要是將代數和幾何巧妙聯結在一起，從而創造了解析幾何這門新數學分支。幾何——這門從古希臘時代就產生并經過歐幾里得總結的學科，它經過兩千年來無數個數學家們的不斷完善，就像一座雄偉的宮殿高聳在數學王國之中。笛卡兒非常喜歡這座宮殿，在這里的每一個證明題就像一顆顆閃光的珍珠叫人愛不釋手。然而笛卡兒發現，人們只能一顆顆地把這些珠子撿起，卻很難用線將這些各具特色的珠子都串起來。當時的代數，由于數學家們片面地強調“形式的美和協調性”，因此被法則和公式鎖得死死的，人們往往只能在狹隘的領域里徘徊。笛卡兒批評當時的代數是“一種充滿混雜與晦暗，故意用來阻礙思想的藝術，而不像一門改進思想的科學。”笛卡兒主張讓代數和幾何中一切最美好的東西互相取長補短，于是他開始著手尋找一種能讓代數和幾何聯結的新方法。

　　1619 年在多瑙河畔的軍營中，笛卡兒開始用大部分時間來思考他在數學領域里的新想法：是不是可以用代數中的計算過程來代替幾何中的證明呢?要想這樣做就必須找到一座能連接幾何和代數的橋梁——使幾何圖形數值化，從而能用計算的方法加以解決。在那些日子里，笛卡兒的思維一直處于一種高度的興奮狀態。

　　奇跡終于出現了，11 月10 日晚上，笛卡兒躺在床上迷迷糊糊地進入了夢鄉。他夢見自己用金鑰匙打開了歐幾里得的數學宮殿的大門，遍地的珍珠光彩奪目。他拿起一根線剛把珠子串了起來，線突然斷了，珠子撒了一地。突然，這些珠子都不見了，宮殿里頓時空曠如坪。這時，他看見窗前一只黑色的蒼蠅在疾飛著，眼前留下蒼蠅飛過的痕跡——一條條的斜線和各種形狀的曲線。這些不正是他最近全力研究的直線和曲線嗎?笛卡兒呆住了。一會兒蒼蠅停住了，在眼前留下一個深深的小黑點……笛卡兒從夢中驚醒過來，腦海中還不時浮現出夢中的情景，讓他異常興奮，使他難以入睡。突然，笛卡兒悟出了這其中的奧妙：蒼蠅的位置不是可以由窗框兩邊的距離來確定嗎?蒼蠅疾飛時留下的痕跡不正是說明直線和曲線都可以由點的運動而產生嗎?笛卡兒興奮極了，一骨碌爬起來，拿筆計算。在他的回憶錄中這樣寫道：“第二天，我開始懂得這一驚人發現的基本原理。”這就是他建立解析幾何的重要線索。