數學家的故事：不朽的數學家李冶

　　1251年，史天澤駐守真定，他興教育，勸農桑，廣納賢士。在秋高氣爽的暮色中，一位59歲的儒士在學子們的簇擁下踏上了真定路欒城縣的故土，他就是金元之際最偉大的數學家李冶。

　　一

　　李冶家學深厚，博覽群書，兼修文學、史學、數學、經學。時人稱贊他“經為通儒，文為名家”。

　　李冶(1192～1279)，字仁卿，號敬齋，元代真定路欒城縣(今石家莊市欒城區)人。他出生的年代，正是金朝由盛而衰的歷史時期。李冶父親李?是位博學多才的學者，在大興府尹胡沙虎手下任推官，母親姓王。

　　泰和八年(1208年)，蒙古成吉思汗的軍隊開始向金朝進攻。李?的上司胡沙虎是金朝臭名昭著的大權奸，“聲勢炎炎，人莫敢仰視”，動輒打罵同僚，甚至“虐殺不辜”。李?常據理力爭，置個人生死禍福于度外。但行走于虎狼之室，不得不小心。他為防不測，把妻兒送回故鄉欒城。少年李冶，就到欒城鄰縣元氏封龍書院求學。

　　至寧元年(1213年)胡沙虎篡權亂政，李?被迫辭職，隱居陽翟(今河南禹縣)，從此不再過問政事。吟詩作畫，頗有名聲。父親的正直為人及好學精神對李冶深有影響。

　　李冶兒時本名李治，為什么改名李冶?后世有兩種解讀。一說李冶成年后熟讀史書，感慨唐高宗李治助長武則天專權，導致大唐淪為武周，恥與李治同名，故改名李冶。一說金朝曾推崇儒學，禁止平民和古代帝王同名，李冶就把李治減去一點，改名叫李冶。

　　李冶自幼聰敏，博覽群書，興趣廣泛，對文學、史學、數學、經學都很感興趣。《元朝名臣事略》中說：“公(指李冶)幼讀書，手不釋卷，性穎悟，有成人之風。”李冶常說：“積財千萬，不如薄技在身。”又說：“金璧雖重寶，費用難貯儲。學問藏之身，身在則有余。”他年輕時曾與好友元好問一起外出求學，拜文學家趙秉文、楊文獻為師。

　　正大七年(1230年)，李冶赴洛陽應試，被錄取為詞賦科進士，一舉成名，時人稱贊他“經為通儒，文為名家”。

　　二

　　國破家亡的命運，使李冶決絕了仕途，潛心研究學問。

　　李冶得中進士，本是走向成功的標志，同年踏進仕途，被授予高陵(今陜西高陵)主簿，但此時金王朝已日薄西山，而崛起于草原的蒙古汗國已日漸強大，成吉思汗之子窩闊臺即位后，出兵攻入陜西，李冶任職屬地被蒙古軍隊占領，所以，他被調往鈞州(今河南禹縣)任知事。公元1232年正月,蒙古軍繞過軍事重鎮潼關(今陜西潼關縣北),東下汴京(今河南開封)，在三峰山大戰，金軍大敗，不幾日，蒙古軍攻破鈞州城，李冶不愿投降，就換上平民服裝，北渡黃河進入山西，這是他一生的重要轉折點。仕途的悲涼，國土的淪喪，使得李冶從此走上了流亡之路。

　　李冶輾轉到了山西的忻縣、崞縣(今山西寧武、原平)之間，過著“饑寒不能自存”的生活。

　　公元1234年正月，金哀宗完顏守緒傳位于完顏承麟后自縊而死。末帝完顏承麟也被亂兵所害，金朝滅亡。

　　國破家亡的命運，使李冶決絕了仕途，只能潛心研究學問。年過四十歲的李冶經過顛沛流離后，定居崞縣桐川。他雖生活艱苦，但有充足的時間研究學問。漫漫人生路，何處是歸途?李冶就在各種學問中充實自己，涉及數學、文學、歷史、天文、哲學、醫學等。李冶不僅有先進的哲學思想，而且在極為艱苦的條件下堅持做學問。他在桐川的居室十分狹小，常常不得溫飽，要為衣食奔波。但他卻以著書為樂，潛心學問。他的學生焦養直說他“雖饑寒不能自存，亦不恤也”，在“流離頓挫”中“亦未嘗一日廢其業”，“手不停披，口不絕誦，如是者幾五十年”。

　　同時代的學者硯堅評價李冶，只要目睹世間之書，無不熟讀，從不遺漏。

　　三

　　數學雖被古人排在六藝之末，但李冶認為，數學是最有用的學問，于是他致力于數學研究。

　　1248年，李冶寫成了中國古代數學名著《測圓海鏡》，這是中國古代代數學具有劃時代意義的著作，是用“立天元一為某某”(即當代數學設x為某某)解析高次方程的數學專著。后世學者們研究認為，李冶這部代數學著作，比歐洲代數高次方程理論要早300多年，是13世紀世界最先進的代數學理論專著。

　　金元之際，正是天元術啟蒙的時代。天元術是用數學符號列方程的方法。中國列方程的思想可追溯到東漢的《九章算術》。其中第8章《方程》，用文字敘述方法建立二次方程，但沒有明確的未知數。唐代王孝通《緝古算術》已能列出三次方程，但完全用幾何方法推導方程，難度很大，不易被一般人掌握。

　　宋代以前的方程理論一直受幾何思維束縛，方程次數不高于三次，高于三次方程就難以用幾何解析了。宋仁宗時任左班殿直賈憲寫成《黃帝九章算經細草》9卷、《算法?鹿偶??卷，改進了傳統開方法，創造了開方作法本源和增乘開方法，對古代數學理論做出了杰出貢獻。在歐洲，法國數學家帕斯卡在17世紀初創造了類似的代數學，但是比賈憲晚了600年左右。

　　李冶治學，不泥古，不唯書，既善于借鑒前人的成就，又勤于思考。有人問學于李冶，李冶回答：“學有三：積之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深。”堅持去其糟粕，取其精華，善于發現，勤于思考。

　　由于李冶擺脫了幾何思維的束縛，在方程解析方面取得了突破，他利用天元術熟練地列出六次方程，并完整解決了分式方程問題，用純代數方法降低方程次數，他還發明了負號和一套相當簡明的小數記法。在國外，直到16世紀末，小數才有了更好的記法。由于李冶掌握了一套完整的數字符號及性質符號，他的方程已能用符號表示，改變了用文字描述方程的舊面貌，可稱為“半符號代數”。大約300年后，類似的半符號代數才在歐洲產生。

　　李冶的《測圓海鏡》共12卷，收入170多個問題，都是已知直角三角形中各線段、利用天元術求內切圓和旁切圓的直徑問題。第一卷開頭，李冶列出了一幅“圓城圖式”，提出了170個與“圓城圖式”有關的問題，根據已知條件，分別計算出15個直角三角形各邊之長，繪出各三角形的容圓公式，計算出勾股和、勾股差，然后計算出勾弦和、勾弦差等。其中19題列出三次方程，13題列出四次方程，還有些題列出六次方程，還成功地用代數方法降低方程次數。《測圓海鏡》的成書標志著天元術的成熟，李冶也正是因其在天元術方面的貢獻，被后人譽為“宋元數學四大家”。

　　元代數學家朱世杰說：“以天元演之，明源活法，省功數倍。”清代阮元說：“立天元者，自古算家之秘術;而《海鏡》者，中土數學之寶書也。”

　　四

　　李冶既是一代鴻儒，又有實用數學的杰出成就。他曾在封龍書院講學，學子紛至沓來，以聆聽李冶教誨為樂事。

　　李冶寫成《測圓海鏡》后，到太原住了一個時期，藩府的官員曾請他出仕為官，他堅決謝絕了。后來，他到了山西平定，在那里，李冶與一代詞人元好問受到當地人的敬仰。平定侯聶?也很尊重李冶和元好問，他經常把他們接到自己府邸做客。時人常常將二人并稱“元李”。至元二年(1265年)，平定州創建“四賢堂”，以祭祀金元時期文壇領袖，“四賢”就是指楊云翼、趙秉文、元好問和李冶，可見李冶在當時名聲之高、影響之大。