小學數學故事：列昂哈德·歐拉的故事

　　開除回家

　　列昂哈德·歐拉是18世紀數學界的中心人物。他在幾何、微積分、力學、天文學、數論，甚至在生物學等方面都有著重要建樹。特別是在天災人禍的打擊面前，歐拉仍然頑強不屈、進擊不止，為后人留下了寶貴的財富，充分表現了這位數學家對數學信念的執著追求。他堪稱我們大家的楷模，是我們所有人的老師。

　　歐拉降生在一個鄉村牧師的家庭，也因此，他才能在鄰居同年齡孩子羨慕和妒忌的目光下，進入那座令人矚目、神往的學校。對于老歐拉來說，這是理所當然的，憑著自己的家傳祖教，憑著小歐拉的聰明伶俐，兒子將來肯定是一名出類拔蘋的教門后起之秀，或許能進入羅馬教廷去供職妮？每當想起兒子的錦繡前程，以及因此而來的榮譽，老歐拉總是樂不可支。

　　自從歐拉在課堂上汲取了許多高遠深奧的學問之后，對自然界的了解就更加充滿信心，但與此同時又對一些問題疑惑不解，如：天上的星星有多少顆？他百思不得其解，只好求教于父親和老師。老歐拉對這類稀奇古怪的問題膛目結舌，無言以答；老師也只是溫和地摸著小歐拉的頭頂，漫不經心地說：“這是無關緊要的。我們只需知道，天空上的星星都是上帝親手鑲上去的。”這真的無關緊要嗎？既然上帝親手制作了星星，為什么記不住它們的數目呢？小歐拉開始對信仰上帝的絕對權威產生了動搖的念頭，他不止一次地問道：上帝到底在哪里？他果真無時不在、無所不能嗎？

　　神學校里出了“叛逆”的學生，這還了得？小歐拉由于整天在思考這些問題，因而聽課不專心，考試答非所問，終于有一天，老歐拉被叫到神學校，領回了被學校開除的兒子。

　　不滿10歲的小歐拉對神學本來就不感興趣，因此，他對于被神學校除名這件事無絲毫傷心，反而更加輕松活躍。從此，他可以無拘無束地思考他感興趣的問題。

　　小歐拉立志要數清天上的星星。為此，他開始學習數學。一踏入這塊領域，小歐拉不禁呆住了：天地之中無所不寓的數學，正像風光迷人的山水景色，何等引人入勝啊！小歐拉抱著厚厚的數學書籍，寫呀，算呀，讀得是那樣的津津有味。

　　父親對兒子在神學校的表現很有些傷心，但當他看到小歐拉是那樣的無憂無慮，又癡迷于數學時，也只有聽之任之了。

　　老歐拉在傳教布道之余，還要放牧羊群以貼補家用。這天，為擴大羊圈，父子倆正在丈量土地：小歐拉拉住測繩的一端，父親拉直測繩后從另一端讀出數值，根據量得的長度計算場地面積和所用的籬笆材料。父親剛把四根轉角樁打入地下，小歐拉的“報告”也出來了：“羊圈長40尺、寬15尺，面積600平方尺，需用110尺籬笆材料。”“可我們只有100尺材料啊！按長40尺，寬10尺計算，只得400平方尺的羊圈，怎么辦？”父親給兒子出了一個難題。

　　“如果把這四根木樁適當地挪一挪位置，也許用同樣多的籬笆，還能使羊圈面積擴大。但什么情況下面積最大呢？”小歐拉啟動腦筋，為自己的家庭解決問題。

　　次日天剛亮，小歐拉晃醒了睡夢中的父親：“只要把羊圈的長、寬都定為25尺，那么，用100尺材料就可圍成625平方尺的羊圈了！”老歐拉噴噴稱贊：這雖然是數學上一個簡單的極質問題，但小歐拉才十幾歲啊！這消息不脛而走，也傳進當地數學名流伯努利的耳朵里。

　　伯努利的惜才、愛才是著名的。這次，他專門來到歐拉家中。小歐拉放下手中的書本，雙眼盯著這位德高望重的教授，質詢似地問道：

　　“您知道天上的星星有多少顆嗎？”伯努利第一次經歷這種面對面的“挑戰”場面，他呆住了，問道：“那么，你知道了？”小歐拉搖搖頭，同時對這位不作正面回答的教授投去失望的目光。

　　“你還知道些什么妮？”教授又問道。

　　“我知道：6可分解成1，2，3，6，把1，2，3加起來等于6；28可分解成1，2，4，7，14，28，把1，2，4，7，14加起來等于28。是不是還有類似的數呢？”小歐拉比比劃劃，十分活躍。顯然，他希望對方給予滿意的解答。

　　這是“完全數”，一個古老的數學之謎，迄今尚無人知曉其全部奧秘。一個小孩子能提出這種有份量的問題，使得這位蜚聲全歐的教授滿心歡喜。于是，在教授的極力推薦下，這位被神學校開除的學生、年方13歲的小歐拉，終于跨進了巴塞爾大學的校門。

　　輝煌的一生

　　在巴塞爾大學，歐拉涉獵了數學的大部分領域。老師們很快地發現，課堂上講授的內容和進度遠遠不能滿足歐拉的需求。貝努利聽說后，更是驚喜萬分，他當即決定從自己有限的寶貴時間中專門擠出一部分為歐拉輔導，于是便有了極不平常的“歐拉學習日”。貝努利以其豐富的閱歷和對數學發展狀況的深刻了解，給歐拉重要的指導，使年輕的歐拉很快地進入前沿領域。歐拉從此走上了獻身數學的道路。

　　歐拉卒于1783年。縱觀其一生的研究歷程，我們會發現，他雖然沒有像笛卡爾、牛頓那樣為數學開辟撼人心靈的新分支，但“沒有一個人像他那樣多產，像他那樣巧妙地把握數學；也沒有人能收集和利用代數、幾何、分析的手段去產生那么多令人欽佩的結果。”歐拉為數學譜寫了一首首精彩的詩篇！

　　歐拉關于微積分方面的論述構成了18世紀微積分的主要內容。他澄清了函數的概念及對各種新函數的認識，對全體初等函數連同它們的微分、積分進行了系統的研究和分類，標志著微積分從幾何學的束縛中徹底解放，從此成為一種形式化的函數理論；給出了多元函數的定義及偏導數的運算性質，研究了二階混合偏導數相等、用累次積分計算二重積分等問題，初步建立起多元函數的微積分理論；考察了微積分的嚴密性，使微積分脫離幾何而建立在代數的基礎上；還有無窮級數的專門研究等。正如貝努利所言，是歐拉將微積分“帶大成人。”

　　歐拉在微分方程、變分法方面也有出色成就。歐拉深入考慮了在常微分方程中占有重要地位的方程及一般常系數線性微分方程的求解方法，開創了這類方程的現代解法，極大地豐富了誕生不久的微分方程理論；歐拉研究了微分方程的冪級數解法，從而解決了一大批不能用通常積分求解的微分方程；歐拉導出了一維、二維和三維的波動方程，并對平面波、柱面波和球面波等各類偏微分方程的解作了分類和研究；歐拉在變分法方面的成果，也標志了變分法作為一個新的數學分支的誕生，為日后的發展奠定了重要的基礎。