小學常見圖形面積公式：菱形公式

　　定理簡述及證明

　　菱形面積=對角線乘積的一半，即S=(a×b)÷2菱形的面積也可=底乘高拋物線弓形面積公式拋物線弦長公式及應用本文介紹一個公式，可以簡捷準確地求出直線被拋物線截得的弦長，還可以利用它來判斷直線與拋物線位置關系及解決一些與弦長有關的題目.方法簡單明了，以供參考.

　　拋物線弓形面積公式等于：以割線為底，以平行于底的切線的切點為頂點的內接三角形的3/4，即：拋物線弓形面積=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S

　　定理直線y=kx+b(k≠0)被拋物線y^2=2Px截得的弦AB的長度為∣AB∣=①證明由y=kx+b得x=代入y^2=2Px得y2-+=0∴y1+y2=，y1y2=.∣y1-y2∣==2，∴∣AB∣=∣y1-y2|=當直線y=kx+b(k≠0)過焦點時，b=-，代入①得∣AB∣=P(1+k2)，

　　于是得出下面推論：

　　推論1：過焦點的直線y=kx-(k≠0)被拋物線y^2=2Px截得的弦AB的長度為∣AB∣=P(1+k2)②在①中，由容易得出下面推論：

　　推論2：己知直線l：y=kx+b(k≠0)及拋物線C：y^2=2PxⅠ)當P>2bk時，l與C交于兩點(相交)；Ⅱ)當P=2bk時，l與C交于一點(相切)；Ⅲ)當P<2bk時，l與C無交點(相離).

　　定理應用下面介紹定理及推論的一些應用：

　　例1：(課本P.57例1)求直線y=x+被拋物線y=x^2截得的線段的長？

　　分析：題中所給方程與定理中的方程形式不一致，可把x看成y用①即可.

　　解曲線方程可變形為x^2=2y則P=1，直線方程可變形為x=y-，即k=1，b=-.由①得∣AB∣=4.

　　例2：求直線2x+y+1=0到曲線y^2-2x-2y+3=0的最短距離.

　　分析：可求與已知直線平行并和曲線相切的直線，二直線間距離即為要求的最短距離.

　　解曲線可變形為(y-1)^2=2(x-1)則P=1，由2x+y+1=0知k=-2.由推論2，令2bk=P，解得b=-.∴所求直線方程為y-1=-2(x-1)-，即2x+y-=0.∴.故所求最短距離為.

　　例3：當直線y=kx+1與曲線y=-1有交點時，求k的范圍.

　　解曲線可變形為(y+1)^2=x+1(x≥-1，y≥-1)，則P=1/2.直線相應地可變為y+1=k(x+1)-k+2，∴b=2-k.由推論2，令2bk≤P，即2k(2-k)≤，解得k≤1-或k≥1+.故k≤1-或k≥1+時直線與曲線有交點.注：曲線作怎樣變形，直線也必須作相應平移變形，否則會出現錯誤.

　　例4：拋物線y^2=2Px內接直角三角形，一直角邊所在直線為y=2x，斜邊長為5.求拋物線的方程.解設直角三角形為AOB.由題設知kOA=2，kOB=-.由①，|OA|=，|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2，得P=.∴拋物線方程為y^2=x.

　　例5：設O為拋物線的頂點，F為焦點，PQ為過的弦，己知∣OF∣=a，∣PQ∣=b，.求SΔOPQ

　　解以O為原點，OF為x軸建立直角坐標系(見圖)，依題設條件，拋物線方程為y^2=4ax(P=2a)，設PQ的斜率為k，由②|PQ|=，已知|PQ|=b，k^2=.∵k^2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=，∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF=a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π-θ)=absinθ=.