小學(xué)數(shù)學(xué)故事：美國(guó)大選

　　2008年11月4日，美國(guó)總統(tǒng)大選讓奧巴馬成為美國(guó)歷史上第一個(gè)黑人總統(tǒng)，也讓這個(gè)日子永載史冊(cè)。美國(guó)媒體在之前的宣傳中紛紛稱之為“你一生中最重要的一次投票”，——事實(shí)上，每次投票之前都會(huì)有類似的宣傳出現(xiàn)，但是這一次也許是最貼切的。

　　既然有投票，就有事前的機(jī)關(guān)算盡，事后的敗寇成王。美國(guó)人的情緒在那個(gè)特殊的夜晚激烈地動(dòng)蕩著，藕粉們（奧巴馬的支持者）紛紛稱之為美國(guó)歷史的新紀(jì)元，麥片們（麥凱恩的支持者）憤憤不平地說(shuō)奧巴馬只不過(guò)靠巧言令色才竊得大位，稀飯們（希拉里的支持者）則黯然神傷，來(lái)來(lái)去去想的都是“要是希拉莉當(dāng)時(shí)贏了民主黨初選……”。而在大洋此岸的中國(guó)，借助互聯(lián)網(wǎng)的幫助，大家也紛紛密切注視著這次大選中的種種風(fēng)吹草動(dòng)。在論壇里，在博客上，大家理直氣壯地談?wù)撝�發(fā)生在另一個(gè)國(guó)家里的選舉，在指點(diǎn)江山的快意之外，也心照不宣的把它視為某種意義上的借鏡。由于眾所周知的原因，我們對(duì)于投票這件事情的了解幾乎總是匱乏的，隔岸觀火，也不失為一個(gè)學(xué)習(xí)投票常識(shí)的辦法。

　　“且慢，”也許你會(huì)有異議，“如果說(shuō)選舉過(guò)程中的政治操作需要學(xué)習(xí)還可以接受的話，投票本身還有什么知識(shí)可言？一人一票的統(tǒng)計(jì)就是了啊。”

　　當(dāng)然不僅如此。正如我們所知，美國(guó)的選舉制度并非是簡(jiǎn)單的一人一票。事實(shí)上，“一人一票”并不一定是個(gè)自然的辦法——甚至也不一定是個(gè)好辦法。

　　讓我們從下面這個(gè)簡(jiǎn)單的例子開(kāi)始。假設(shè)有一組人要從ABC三個(gè)候選人中選出一個(gè)來(lái)?yè)?dān)任某項(xiàng)職務(wù)。大家對(duì)這三個(gè)人的內(nèi)心偏好列如下表：

　　有2個(gè)人認(rèn)為A優(yōu)于B優(yōu)于C

　　有3個(gè)人認(rèn)為A優(yōu)于C優(yōu)于B

　　有2個(gè)人認(rèn)為C優(yōu)于B優(yōu)于A

　　有4個(gè)人認(rèn)為B優(yōu)于C優(yōu)于A

　　現(xiàn)在大家投票。按照每人投一票的原則，每個(gè)人給他心中最勝任的人選投上一票，結(jié)果是A得5票，B得4票，C得2票，排名是A高于B高于C，最后A當(dāng)選。看起來(lái)沒(méi)什么問(wèn)題。

　　如果換一個(gè)規(guī)則，假定大家認(rèn)為每人一票不足以反映民意，決定仍然按照上面的偏好順序投票，但是每個(gè)人分別投兩票給他認(rèn)為最勝任和次勝任的人選，那么結(jié)果會(huì)有多大差別？計(jì)算一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，最后A得5票，B得8票，C得9票，排名是C高于B高于A，當(dāng)選的是C，原先票數(shù)最高的A反而墊底！

　　上述怪誕的事實(shí)說(shuō)明，在選民意志不變的情形下，選舉規(guī)則的改變有時(shí)會(huì)在根本上顛覆（而非像直覺(jué)告訴我們的那樣至多小幅改變）選舉的結(jié)果。事實(shí)上，你很容易想到，除去上面所說(shuō)的一票制和兩票制，還有很多別的看似公平的選舉方式，例如數(shù)學(xué)家J.Borda在1770年批評(píng)法蘭西科學(xué)院選舉制度時(shí)提出來(lái)的Borda計(jì)票法。Borda認(rèn)為如果每個(gè)人只投一票，那么選民對(duì)自己心目中除最優(yōu)者之外的選項(xiàng)的偏好順序就完全無(wú)從在選舉中得以表達(dá)，而每人投兩票或者更多票也不公平，因?yàn)槟悄ㄉ妨嗣總�(gè)人心目中最優(yōu)和次優(yōu)的區(qū)別。他建議，比方說(shuō)還是有三個(gè)候選人的情況下，每個(gè)人給心目中的最優(yōu)者投兩票，次優(yōu)者投一票，第三名不投票，這是最能完整表達(dá)投票者偏好順序的方式。如果你把這個(gè)規(guī)則應(yīng)用到上面那個(gè)實(shí)例，結(jié)果會(huì)變成A得10票，B得12票，C得11票，排名是B高于C高于A，最后當(dāng)選的是B。——又是一個(gè)新結(jié)果。

　　事實(shí)上，把上面的論述抽象化一點(diǎn)。無(wú)論是一票制，兩票制，還是Borda投票制，都可以看成排序投票制的特例。所謂排序投票就是每個(gè)人給候選人在心中排好一個(gè)偏好次序，然后給每個(gè)次序上的人投一定票數(shù)。這聽(tīng)起來(lái)是很合理的辦法，唯一的區(qū)別只是第幾名到底投幾票而已，而數(shù)學(xué)家D.Saari卻在上世紀(jì)末給出了下面這個(gè)荒謬的定理：

　　如果有n名候選人，那么可以找到合適的一組選民，使得這組選民在偏好不變的情況下，由不同的排序投票制給出多達(dá)(n-1)(n-1)！種不同的投票結(jié)果（這是一個(gè)非常大的組合數(shù)）。不僅如此，如果n>3，那么可以找到合適的一組選民，使得在選民偏好不變的情況下任何候選人都通過(guò)選擇一個(gè)合適的排序投票制當(dāng)選。