小學數學故事：例行出步

　　德國數學家大衛·希爾伯特（1862～1943）是20世紀最偉大的數學家之一．他對數學的貢獻是巨大的和多方面的，研究領域涉及代數不變式，代數數域，幾何基礎，變分法，積分方程，無窮維空間，物理學和數學基礎等．他在1899年出版的《幾何基礎》成為近代公理化方法的代表作，且由此推動形成了“數學公理化學派”，可以說希爾伯特是近代形式公理學派的創始人．

　　1900年希爾伯特38歲時在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會上作了題為《數學問題》的著名講演．在講演中，他根據19世紀數學研究的成果與發展趨勢，以卓越的遠見和非凡的洞察力，提出了新世紀所面臨的23個問題．這23個問題涉及現代數學的大部分重要領域（著名的哥德巴赫猜想就是第8個問題中的一部分），對這些問題的研究有力地推動了20世紀各個數學分支的發展．下面是發生在他年輕時候的古書。

　　希爾伯特在海德爾堡上了一學期以后，接下來的一個學期，本來可以允許他再轉到柏林去聽課，但他深深地依戀自己的家鄉，于是他又回到了哥尼斯堡大學．再下一個學期――1882年春天，希爾伯特仍決定留在哥尼斯堡．

　　這時赫爾曼？閱可夫斯基從柏林學習了三個學期后也回到了哥尼斯堡大學．閩可夫斯基從小就數學才能出眾，據說有一次上數學課，老師因把問題理解錯了而“掛了黑板”，同學們異口同聲叫道：“閉可夫斯基去幫幫忙！”在柏林上學時，他因為出色的數學工作曾得到過一筆獎金．這時，年僅17歲的閱可夫斯基正沉浸在一項很深奧的研究之中――解巴黎科學院出榜征解的一個問題：把一個數表成五個平方數的和．一年后，1883年春天，18歲的閱可夫斯基和英國著名的數學家史密斯共享巴黎科學院的這項大獎．這件事轟動了整個哥尼斯堡．希爾伯特的父親因此曾告誡自己的兒子不要冒冒失失地去和“這樣知名的人”交朋友．但由于對數學的熱愛和共同的信念，希爾伯特和比他小兩歲的閩可夫斯基很快成了好朋友．

　　1884年春天，年輕的數學家阿道夫？赫維茨從哥廷根來到哥尼斯堡擔任副教授，年齡還不到25歲，在函數論方面已有出色的研究成果．希爾伯特和閩可夫斯基很快就和他們的新老師建立了密切的關系．他們這三個年輕人每天下午準5點必定相會去蘋果樹下散步．希爾伯特后來回憶道：“日復一日的散步中，我們全都埋頭討論當前數學的實際問題；相互交換我們對問題新近獲得的理解，交流彼此的想法和研究計劃．”在他們三人中，赫維茨有著廣泛“堅實的基礎知識，又經過很好的整理，”所以他是理所當然的帶頭人，并使其他兩位心悅誠服．當時希爾伯特發現，這種學習方法比鉆在昏暗的教室或圖書館里啃書本不知要好多少倍，這種例行的散步一直持續了整整八年半之久．以這種最悠然而有趣的學習方式，他們探索了數學的“每一個角落”，考察著數學世界的每一個王國，希爾伯特后來回憶道：“那時從沒有想到我們竟會把自己帶到那么遠！”三個人就這樣“結成了終身的友誼．”

　　正如徐利治教授所指出的，良師益友間的互相切磋討論對希爾伯特的成長發展也起了十分重要的作用，可以想見那段時間是希爾伯特才、學、識獲得迅速成長的重要階段，假如沒有這段經歷，那么希爾伯特在1900年竟能在許多重要領域中一次提出那么多著名難題，倒是不易想象的了．有關希爾伯特散步的這個小故事告訴我們，師生除了在課堂上的活動以外，師生在課外的交流以及同學間的課外交流，也是一種重要的學習方式，對數學學習非常有益。而且，在散步中交流因為沒有書本，也不用紙和筆，因此沒有繁瑣的推導和計算，只能交談那些能用話“說出來”的東西，即對問題的理解，分析總是中的思想和方法，挖掘統帥形式推導的靈魂，......而這些對學好數學非常重要。同學們不妨經常邀幾位要好的同學一起散步交談，肯定會其樂無究的。