然而，阿基米德并未就此停止。他對(duì)公牛數(shù)目另外又提出了兩項(xiàng)限制條件，從而使這問(wèn)題變得難多了：

　　8．白公牛＋黑公牛＝一個(gè)平方數(shù)。

　　9．花斑公牛＋黃公牛＝一個(gè)三角數(shù)。

　　問(wèn)題最后說(shuō)：“如果你已算出這群牛的總數(shù)，噢！朋友，你儼然就是一個(gè)征服者了，不消說(shuō)，你就是數(shù)字科學(xué)方面的專(zhuān)家了。”

　　阿基米德的牛群?jiǎn)栴}由于采用了三角數(shù)和平方數(shù)的概念而與華達(dá)哥拉斯的工作有關(guān)。公元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯及其追隨者用圓點(diǎn)布置成三角、四方或其他幾何圖形來(lái)表示數(shù)。如3、6和10這些數(shù)被稱(chēng)為三角數(shù)，因?yàn)樗鼈兛捎蓸?gòu)成三角的圓點(diǎn)來(lái)表示

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　　西門(mén)從海中拽出的魚(yú)的數(shù)目153也是一個(gè)三角數(shù)。由于同樣的原因，像4，9和16這些數(shù)被稱(chēng)為平方數(shù)，因?yàn)樗鼈兛梢杂脠A點(diǎn)布置成正方形來(lái)表示：

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　　不要以為古人為斷定某個(gè)特定的數(shù)是否可以由特定的幾何圓點(diǎn)圖形表示而耗費(fèi)長(zhǎng)時(shí)間去胡寫(xiě)亂畫(huà)，要知道，解決這一問(wèn)題存在一種純數(shù)的方法。所有三角數(shù)都可由連續(xù)的整數(shù)（從1開(kāi)始）相加得出；如3＝1＋2，6＝1＋2＋3，以及10＝1＋2＋3＋4。所有的平方數(shù)都可由整數(shù)的平方得出：4＝2×2，9＝3×3，及16＝4×4。

　　由于用三角數(shù)和平方數(shù)對(duì)公牛進(jìn)行限制，牛問(wèn)題變得非常棘手，兩千年里沒(méi)有取得真正的進(jìn)展。1880年，一位德國(guó)研究者在經(jīng)過(guò)枯燥計(jì)算之后表明：符合所有8項(xiàng)條件的最小的牛頭數(shù)為一個(gè)有206，545位數(shù)的數(shù)，該數(shù)是以776開(kāi)頭的。阿基米德可能是一個(gè)有魔力之人，但他決不是個(gè)現(xiàn)實(shí)主義者：西西里小島上決不會(huì)容下這樣一群牛。正如一位數(shù)理論家所說(shuō)：“即使它們是最小的微生物――不，即使它們是電子，一個(gè)以從地球到銀河的距離為半徑的圓也只能包含這種動(dòng)物的很小一部分。”

　　但沒(méi)人認(rèn)為缺乏現(xiàn)實(shí)感會(huì)妨礙數(shù)學(xué)研究。20年后的1899年，伊利諾斯希爾斯伯勒的一位土木工程師和他的幾位朋友組成希爾斯伯勒數(shù)學(xué)俱樂(lè)部，致力于發(fā)現(xiàn)余下的206，542位數(shù)。經(jīng)過(guò)4年運(yùn)算后，他們最后宣布，他們發(fā)現(xiàn)了12位最右邊的數(shù)，又另外發(fā)現(xiàn)了28位最左邊的數(shù)，但后來(lái)證明他們算的數(shù)都弄錯(cuò)了。60年后，3位加拿大人運(yùn)用計(jì)算機(jī)首次發(fā)現(xiàn)了全部的答案，但他們從未予以公開(kāi)發(fā)表。1981年，當(dāng)出自勞倫斯？利弗莫爾國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的克雷1號(hào)巨型計(jì)算機(jī)的47頁(yè)硬拷貝縮印在《趣味數(shù)學(xué)》雜志上時(shí)，全部的206，545位數(shù)才最終公布于世。

　　當(dāng)時(shí)，克雷1號(hào)是世界上運(yùn)算最快的計(jì)算機(jī)。克雷巨型計(jì)算機(jī)是昂貴的――最新型號(hào)值2，000萬(wàn)美元，實(shí)驗(yàn)室和公司不會(huì)買(mǎi)它來(lái)解決古老的數(shù)論問(wèn)題。購(gòu)買(mǎi)它是用于配制新的藥物，勘探石油，破譯蘇聯(lián)密碼，在好萊塢電影中造成輝煌的特別效果以及模擬太空武器。

　　然而，人們常常讓巨型計(jì)算機(jī)解決數(shù)論史上棘手的計(jì)算問(wèn)題，以便證明它們是否運(yùn)轉(zhuǎn)正常。計(jì)算這種問(wèn)題的好處是可以輕易地對(duì)其答案――即使以前不知道這些答案――進(jìn)行檢驗(yàn)：將它們還原到其等式中去。阿基米德的牛群?jiǎn)栴}正是在勞倫斯？利弗莫爾實(shí)驗(yàn)室檢驗(yàn)克雷1號(hào)時(shí)得以解決的。這臺(tái)巨型計(jì)算機(jī)僅用10分鐘就發(fā)現(xiàn)了206，545位數(shù)的答案，并兩次檢驗(yàn)了這一問(wèn)題的運(yùn)算。

　　讓我們以一個(gè)阿基米德曾處理過(guò)而我們也許能解決的問(wèn)題來(lái)結(jié)束本節(jié)吧。希倫給金匠一定量的金子（設(shè)其重量為W）制造皇冠。當(dāng)希倫收到那頂皇冠時(shí)，他請(qǐng)阿基米德鑒定它是否含有全部的金子，或金匠是否偷走了一些而代之以較廉價(jià)的金屬。公元前1世紀(jì)著名的羅馬建筑師維特魯威是這樣記載的：“阿基米德反復(fù)琢磨這一問(wèn)題，一天他偶然來(lái)到洗澡間，在那兒，他注意到，當(dāng)他坐進(jìn)浴缸里，漫出浴缸的水的數(shù)量等于他浸在浴缸中的身體所排出的水量。這一點(diǎn)向他暗示了解決這一問(wèn)題的方法，于是他立即欣喜地跳出浴缸，光著身子向家奔去，并大聲喊著他已發(fā)現(xiàn)了他尋找的東西。因?yàn)楫?dāng)他跑的時(shí)候，他反復(fù)大聲地用希臘語(yǔ)叫道，我找著啦！我找著啦！”

　　他找到了什么？阿基米德領(lǐng)悟到：既然金是密度最大的金屬，那么，重量為W的純金皇冠的體積會(huì)比同樣重量攙假的金皇冠的體積要小些。他讓一個(gè)容器裝滿水并投進(jìn)重量為W的金子。然后他將溢出來(lái)的水收集起來(lái)，這些水的體積與該金子的體積相等。下一步他讓另一個(gè)容器裝滿水，皇冠在監(jiān)督之下被放入水中。果然，它排出的水體積較大，證明那位卑劣的金匠偷去了希倫國(guó)王的金子。