小學數學故事：排列的迷題

　　組合分析，即組合學，是研究事件如何排列的。用專業的說法，組合分析是將諸元素按不同的規則和特性組合為集合的研究方法。

　　例如，第一個問題是關于不同顏色的球的分組方法。這個問題要求讀者按某一特性找到彩球的最小集合。第二個問題是關于參賽者按圖表以淘汰制分組的方法――這也是計算機中重要的計算部分數據分類的問題。

　　組合分析通常要找到根據某種規則進行分組的全部組合，如所謂“窮舉問題”在蘇珊上學路徑中的應用，在這個問題上，組合的元素是沿模型邊緣的曲線路徑，由于幾何圖形被引入，我們稱其為組合幾何。

　　每個數學分支都有其組合問題，你將在本書各節中找到它們。有組合數學，組合拓撲，組合邏輯，組合集合理論――甚至組合語言，這將在語詞游戲一章看到。組合學在概率理論方面尤為重要，在找到概率公式以前列舉所有可能的組合是非常必要的。有一個著名的概率問題集叫作“機會與機遇”，題目中“機會”這個詞指的就是組合因素。

　　我們第一個問題涉及概率是因為彩球按某一特定要求排列，文中提出了如何解決類似的簡單的概率問題。列舉蘇珊上學路徑問題提供了帕斯卡三角在概率問題中的應用。解決已知組合問題的排列可能沒有，可能只有一種，也可能有幾種或無數種。沒有一種兩個奇數的組合能使這兩個奇數的和仍是奇數。只有一種兩個質數的組合，使得這兩個質數的積是21，滿足兩個正整數的和是7的組合有三種，有無限多種兩個偶數的組合使得它們的和仍是偶數。在組合理論中更多的是很難找到“不可能事件的證明”，即沒有滿足要求的組合。例如，直到最近才證明地圖的繪制需要五種顏色，這在組合拓撲中曾是一個著名的無解問題，這個不可能證明需要龐雜的計算機程序。

　　另一方面，許多最初很難證明其不可能性的組合問題，在具有了巧妙的想法后卻很容易證明。在“惱人的花磚”問題中，我們看到簡單的奇偶檢驗馬上導致了用其它方式很難證明的組合的不可能性。

　　關于小球的第二個問題把組合思想和不同數學體系的應用結合了起來。我們知道，可以依賴組合的規則，用數學做各個位置的記號，實際上，所有的推理，無論是數學的還是邏輯的，都能用一串組合符號來進行，不管這是不是合適的說法。

　　所以17世紀組合學的創始人萊布尼茨稱這種推論技巧為排列組合。

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