例2 圖6―9中的幾何體是一個長方體，四邊形APQC是長方體的一個截面（即過長方體上四點A、P、Q、C的平面與長方體相交所得到的圖形），P、Q分別為棱A1B1、B1C1的中點，請在此長方體的平面展圖上，標出線段AC、CQ、QP、PA來。
分析與解：只要能正確畫出圖6―9中長方體的平面展開圖，問題便能迎刃而解。圖6―10中的粗實線，就是題目中所要標出的線段AC、CQ、QP、PA。
例3 在圖6―11中，M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點，若從M點繞圓柱體的側面到達N，沿怎么樣的路線路程最短？
分析與解：沿圓柱體的母線MN將圓柱的側面剪開鋪平，得出圓柱的側面展開圖，見圖6―12，從M點繞圓柱體的側面到達N點。實際上是從側面展開圖的長方形的一個頂點M到達不相鄰的另一個頂點N。而兩點間以線段的長度最短。所以最短路線就是側面展開圖中長方形的一條對角線，見圖6―12和圖6―13。
例4 圖6―14中的幾何體是一棱長為4厘米的正方體，若在它的各個面的中心位置上，各打一個直徑為2厘米，深為1厘米的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少（π=3.14）？
分析與解：因為正方體的棱長為2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方體沒有被打透。這一來打孔后所得幾何體的表面積，等于原來正方體的表面積，再加上六個完全一樣的圓柱的側面積、這六個圓柱的高為1厘米，底面圓的半徑為1厘米。
正方體的表面積為42×6=96（平方厘米）
一個圓柱的側面積為2π×1×1=6.28（平方厘米）
幾何體的表面積為96+6.28×6=133.68（平方厘米）
答：（略）
例5 圖6―15是由18個邊長為1厘米的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積是多少？
分析與解：從圖6―15中可以看出，18個小正方體一共擺了三層，第一層2個，第二層7個，因為18-7-2=9，所以第三層擺了9個。另外，上、下兩個面的表面積是相同的，同樣，前、后；左、右兩個面的表面積也是分別相同的。因為小正方體的棱長是1厘米，所以
上面的表面積為12×9=9（平方厘米）
前面的表面積為12×8=8（平方厘米）
左面的表面積為12×7=7（平方厘米）
幾何體的表面積為9×2+8×2+7×2=
答：（略）
例6 圖6―16中所示圖形，是一個底面直徑為20厘米的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6厘米，高20厘米的一個圓錐體鉛錘，當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？（π=3.14）
分析與解：因為玻璃杯是圓柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實際是一個小圓柱，這個圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為20厘米的圓，它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積，這個小圓柱的高就是水面下降的高度。
因為圓錐形鉛錘的體積為
設水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為x（20÷2）2×x=100πx（立方厘米）
所以有下列方程：
60π=100πx，解此方程得：
x=0.6（厘米）
答：鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6厘米。
例7橫截面直徑為2分米的一根圓鋼，截成兩段后，兩段表面積的和為75.36平方分米，求原來那根圓鋼的體積是多少（π=3.14）？
分析與解：根據圓柱體的體積公式，體積=底面積×高。假設圓鋼長為x，因為將圓鋼截成兩段后，兩段表面積的和，等于圓鋼的側面積加上四個底面圓的面積，所以有下面式子：
2π×（2÷2）×x+4π×（2÷2）2
=2πx+4π
根據題目中給出的已知條件，可得下面方程：
2πx+4π=75.36
解方程：
圓鋼的體積為π×（2÷2）2×10≈31.4（立方分米）
答：（略）。
例8 一個圓錐的側面展開圖是一個半徑為10厘米、圓心角為216°的扇形，求此圓錐的體積是多少（π=3.14）？
分析與解：要想求出圓錐的體積，就要先求出它的底面圓的半徑與高。按題意畫圖6―17。在圖6―17中，字母R、h分別表示底面圓的半徑和圓錐體的高，根據弧長公式：弧長=2лR×n÷360（這里R是圓的半徑，n為弧所對圓心角的度數），便可求出弧長來。這個弧長就是底面圓的周長，再利用周長公式，就可求出底面圓的半徑R。另外從圖6―17中可以看出：圓錐的高、母線、底面圓的半徑正好構成一個直角三角形，利用勾股定理便可求出圓錐的高h。
所以 2πR=12π，得R=6（厘米）
在直角三角形中，根據勾股定理有：
102=h2+R2，即h2=102-R2
=100-36=64，h=8（厘米）
答：（略）
例9 圖6―18中的圖形是一個正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點。現在沿三角形GFH所在平面鋸掉正方體的一個角，問鋸掉的這塊的體積是原正方體體積的幾分之幾？
分析與解：因為鋸掉的是立方體的一個角，所以HA與AG、AF都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方體的上底面，實際上鋸掉的這個角，是以三角形AGF為底面，H為頂點的一個三棱錐，如果我們假設正方體的棱長為a，則正方體的體積為a3。
三棱錐的底面是直角三角形AGF，而角FAG為90°，G、F又分別為AD、
而三棱錐的體積等于底面積與高的乘積再除以3，所以鋸掉的那一角的體積為
答：（略）
例10 圖6―19是一個里面裝有水的三棱柱封閉容器，圖6―20是這個三棱柱的平面展開圖。當以A面作為底面放在桌面上時，水高2厘米，如果以B面與C面分別作為底面放在桌面上時，水面高各為多少厘米？
分析與解：我們先求以A面作為底面放在桌面上時容器內的水的體積。此時水的體積，與以梯形FJQP為底面、JI為高的棱柱的體積相等。棱柱的體積等于底面積乘以高，從圖6―20可以看出，此棱柱的高JI為12厘米，梯形FJQP的下底FJ為3厘米，高QJ為2厘米。因為PTJQ是個長方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q點是GJ的中點，PQ平行于FJ，這樣可以推算出QP為FJ的一半，為1.5厘米，這一來梯形FJQP的面積為
以C面為底面時，水的體積與以C（即三解形EHI）為底面，高為某數值
此時水面的高度為：
54÷6=9（厘米）
以B面作為底面時，原來以A面為底面時不裝水的那一部分，現在應裝水，原來裝水的某一部分現在應空出來，下面來討論這兩份之間的數量關系。
為方便起見，我們把C面適當放大成圖6―21，在圖6―21中，因為PQ平行于FJ，PT垂直于FJ，所以JQPT是一長方圖6ZI形，故JQ、PT、QG的長都是2厘米，TJ、PQ的長為1.5厘米，因為FJ長為3厘米，所以FT的長也為1.5厘米，這一來三角形FPT與PQG的形狀一樣，面積相等。這便說明原來以三角形PFT為底面，JI為高的裝水的棱柱的體積，與現在以三角形PQG為底面，JI為高裝水的棱柱的體積是相等的。所以以B面為底面時，水面的高度等于PQ的長度，即水面高為1.5厘米。
答：（略）
