例2：是例3教學的鋪墊，只列式不計算。根據已學數量關系“每桶水的體積×桶數=水的體積”，通過類比推理列式，只是桶數可以由整數擴展到分數。教材結合情境，說明求 桶水、 桶水的體積就是求12 L的 和12 L的 分別是多少。在此基礎上，概括出“一個數乘幾分之幾，可以表示這個數的幾分之幾是多少”。由整數乘法的意義類推出分數乘法的意義和算式，在情境中理解分數乘法算式在這里表示“一個數的幾分之幾是多少”。

例3：分數乘法意義的第二種形式：一個數的幾分之幾是多少

是在學生會利用“求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算”列式之后，學習分數乘分數的計算方法。教材借助直觀動態圖及分數的意義，使學生在探索和理解分數乘分數算理的基礎上，一步一步總結出分數乘分數的計算方法。在這里，有些分數是帶單位的“量”，有些分數是不帶單位的“率”，事實上，“量”與“率”也是可以互相轉化的。例如， 公頃，實際上就是1公頃的 ; 公頃的 ，就是1公頃的 ，即 公頃。這需要教師充分利用動態圖幫助學生理解“量”與“率”之間的轉換。

例4：分數乘法的簡便約分方法

學習分數乘法的簡便方法。教材把分數乘法意義的兩種形式混合編排在一起。第(1)小題是“求一個數的幾分之幾”，第(2)小題既可以根據“速度×時間=路程”列式，也可以根據“幾個相同分數相加”列式。在數據處理上，本例中既包含分數與分數相乘，又包含分數與整數相乘。學生可以通過此例，進一步掌握分數乘法的一般性算法。

例5：分數與小數相乘

是教材修訂中增加的內容。分數和小數相乘，可把分數化成小數相乘(在分數可以化成有限小數的情況下)，也可把小數化成分數相乘。不管哪種方法，都是學生已學的知識，可以讓學生自行解決。而當小數與分數的分母存在公共因數時，可以直接“約分”。這種約分雖然與以前學過的約分形式不同，但實質都是除以一個相同的數。在倡導算法多樣化的同時，也要通過比較分析，幫助學生認清“通用方法”與“特殊方法”之間的相互關系，同時明確簡便算法的局限性。

例6：分數混合運算順序

教材的編排首先借助學生用不同方法計算長方形的周長，自然引出分數四則混合運算，并直接說明分數混合運算的順序和整數混合運算順序相同，讓學生自主解決。本例特意用兩道有關聯的算式講解分數混合運算的順序，為接下來把整數乘法運算定律推廣到分數乘法的正式教學進行了很好的鋪墊。

例7：整數乘法運算定律擴展到分數

在例6教學的基礎上，再通過觀察、計算，歸納得出“整數乘法的交換律、結合律和分配律，對于分數乘法也適用”的結論。結合具體計算，說明應用乘法運算定律可以使分數混合運算更加簡便。

例8：連續求一個數的幾分之幾是多少

是讓學生在會解決求一個數的幾分之幾是多少的基礎上，進一步解決連續求一個數的幾分之幾是多少的實際問題。在這里，由于研究的是三個量之間的關系，在描述其中某兩個量的數量關系時，單位“1”是在動態變化的。

教材編排通過折紙或畫圖等操作活動，借助直觀圖形幫助學生理清題中有幾個量，這些量之間有什么樣的數量關系，體會畫圖是分析問題、解決問題的重要策略。另一方面，倡導解決問題方法的多樣化。既可以先求出蘿卜地的面積，再求出紅蘿卜地的面積;也可以先求出紅蘿卜地占大棚面積的幾分之幾，再求出紅蘿卜地的面積。不同解題思路的呈現，可以提高學生思維的靈活性和發散性。

例9：求比一個數多(或少)幾分之幾的數是多少

本例是“求一個數的幾分之幾的是多少”的發展題，其復雜性主要是沒有直接給出“一個量是另一個量的幾分之幾”，需要先求出一個量比另一個量多(或少)的具體數量或者先求出一個量是另一個量的幾分之幾。教材通過線段圖直觀地表示出“嬰兒每分鐘心跳的次數比青少年多 ”的意思，揭示兩個數量之間的關系，讓學生明確“多(或少)幾分之幾”是“多(或少)誰的幾分之幾”。這對于學生理解題意、選擇計算方法會起到關鍵性的作用。

本單元的教學重點是理解分數乘法的意義;理解與掌握分數乘法的計算方法;應用分數乘法解決簡單的實際問題。教學難點是理解分數乘分數的算理以及用分數乘法解決“求比一個數多(或少)幾分之幾的數是多少”的實際問題。

【重難點突破】

1. 理解分數乘法的意義

突破建議：

(1)正確把握學生認知基礎及知識的邏輯起點，運用遷移、類推，引導學生自主列出乘法算式。《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出：“教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎。”由此可見，正確把握學生認知基礎及知識的邏輯起點，是開展有效教學的基礎。分數乘法的意義是整數乘法的意義的擴展，因此，在讓學生學習表示“幾個相同分數相加”的分數乘法時，可以完全放手讓學生根據已學的分數加法進行推導。在此基礎上，引出分數乘法的第二種意義：求一個數的幾分之幾是多少。在此過程中，教師同樣可以充分挖掘學生的已有知識經驗來教學。

例如講到例2時，根據教材呈現的三幅圖，在學生充分觀察的基礎上，引導學生根據第一圖列出算式12×3后進行思考：你是根據什么列式的?使學生明確列式的依據是“單位量×數量=總量”。然后教學緊緊抓住這個學生熟悉的數量關系，不斷追問：如果把單位量換成分數，是什么情形?(即例1中幾個相同分數相加的情況);如果把數量換成分數，是否同樣成立?引導學生根據整數乘法的數量關系列出分數乘法的算式。

(2)借助圖形直觀，在“量”“率”轉換中實現乘法意義的建構。根據“單位量×數量=總量”“每桶水12 L， 桶水就是 L”，再結合直觀圖強調，看到的 桶水就是半桶水，即12 L水的一半，用分數的語言，就是12 L的 。至此，“ 可以表示12的 ”的教學難點就解決了。另一方面，再結合情境強調，“12的 ”和“ 個12”含義相同，只是表述方式不同而已。這樣，就能把分數乘法的意義與整數乘法的意義有機地統一起來，學生在遷移、類推、比較中自主地理解了分數乘法的意義。

2. 理解與掌握分數乘法的計算方法

突破建議：

(1)借助動手操作，運用分數的意義、數形結合理解分數乘法的算理。分數乘分數的計算方法并不復雜，記憶和應用算法也不難，但是，理解為什么這樣計算卻不容易。在教學中，教師可以先讓學生用一張紙(或畫一個長方形)來表示1公頃地，再利用涂色來理解求 公頃的 就是把 公頃平均分成5份，取其中的一份。像這樣借助涂色將數與形結合，將計算與分數的意義緊密相聯，充分展示知識的發生、發展和聯系的教學方式，為學生的獨立探究提供了保證，是學生理解算理的好方法。接下去就可以通過直觀的涂色結果來讓學生得到結果，并明確把1公頃看作單位“1”，求 公頃的 是多少，其實就是把1公頃平均分成(2×5)份，取其中的一份，也就是 ，從而得出 。當然，在動手操作探索的過程中，應該充分尊重學生的思考，允許學生用多種方法來對結果進行說明驗證。鑒于學生的學習理解能力，教師也可以在講課開始之時先提供一些圖例，讓學生們通過看圖來直觀感知“幾分之一的幾分之一”表示的是什么，感受兩個分數相乘會產生一個新的分數，對學生的理解也會有很大的幫助。

(2)引導觀察、討論、歸納推導出分數乘法的計算方法。計算方法的獲取、表達如果來自于學生自己的思考，學生會掌握得更扎實。在教學中，教師可以結合例題的教學，讓學生通過畫圖對算法進行理解;從計算分子為1的乘法算式 算理的理解，到 的計算，由易到難逐步進行;在對 算法理解的基礎上進行大膽、合理的猜想并進行驗證;讓學生經歷“觀察——討論——猜想——驗證——得出結論”的過程，使得他們在不斷觀察、不斷發現、不斷歸納的過程中總結出分數乘分數的計算方法。

3. 應用分數乘法解決簡單的實際問題

突破建議：

(1)緊密聯系分數乘法的意義，引導學生在理解數量關系的基礎上正確列式，解決實際問題。分數乘法的意義有兩種不同的表述，其中“求一個數的幾分之幾是多少用乘法計算”對學生而言是全新的。在解決相關實際問題時，教師要引導學生找出兩個相比較的量，分析兩個量之間的數量關系，弄清哪個量是單位“1”，要求的量是單位“1”的幾分之幾，再根據分數乘法的意義列式解答。對這類基本問題的解題思路的理解和掌握，為學生解決稍復雜的實際問題奠定了基礎，同時也為“分數除法”單元解決實際問題提供了直接支持。

(2)有效運用畫圖策略，幫助學生分析和解決問題。《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出：“借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”畫圖既可以將學生對題意的理解加以外顯，又可以將現實情境抽象為數學模型，幫助分析和解決問題。因此學生在問題解決的過程中，首先應明確題目中的信息和問題，并用圖(表、符號或操作等)將題目中的信息和問題表示出來。如連續求一個數的幾分之幾是多少的問題和求比一個數多(或少)幾分之幾的數是多少的問題，數量關系比較復雜，用線段圖等方式可以比較清晰、直觀地表示出數量之間的關系。教學時要有效運用畫圖策略，幫助學生理解題意，分析數量關系。可以先從會看示意圖入手，逐步學會畫圖分析數量關系，不斷提高學生分析問題和解決問題的能力。