二、分解質(zhì)因數(shù)

　　一個(gè)整數(shù)，它的約數(shù)只有1和它本身，就稱為質(zhì)數(shù)（也叫素?cái)?shù)）.例如，2，5，7，101，….一個(gè)整數(shù)除1和它本身外，還有其他約數(shù)，就稱為合數(shù).例如，4，12，99，501，….1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).也可以換一種說(shuō)法，恰好只有兩個(gè)約數(shù)的整數(shù)是質(zhì)數(shù)，至少有3個(gè)約數(shù)的整數(shù)是合數(shù)，1只有一個(gè)約數(shù)，也就是它本身.

　　質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)，就是2，其他質(zhì)數(shù)都是奇數(shù).但是奇數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，例如，15，33，….

　　例9 ○＋（□+△）=209.

　　在○、□、△中各填一個(gè)質(zhì)數(shù)，使上面算式成立.

　　解：209可以寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，即

　　209＝11×19.

　　不論○中填11或19，□+△一定是奇數(shù)，那么□與△是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，偶質(zhì)數(shù)只有2，不妨假定△內(nèi)填2.當(dāng)○填19，□要填9，9不是質(zhì)數(shù)，因此○填11，而□填17.

　　這個(gè)算式是 11×（17＋2）＝209，

　　11×（2＋17）＝ 209.

　　解例9的首要一步是把209分解成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積.把一個(gè)整數(shù)分解成若干個(gè)整數(shù)的乘積，特別是一些質(zhì)數(shù)的乘積，是解決整數(shù)問(wèn)題的一種常用方法，這也是這一節(jié)所講述的主要內(nèi)容.

　　一個(gè)整數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個(gè)整數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如，2，3，7，都是42的質(zhì)因數(shù)，6，14也是42的因數(shù)，但不是質(zhì)因數(shù).

　　任何一個(gè)合數(shù)，如果不考慮因數(shù)的順序，都可以唯一地表示成質(zhì)因數(shù)乘積的形式，例如

　　360＝2×2×2×3×3×5.

　　還可以寫(xiě)成360＝2³×3²×5.

　　這里2³表示3個(gè)2相乘，3²表示2個(gè)3相乘.在2³中，3稱為2的指數(shù)，讀作2的3次方，在3²中，2稱為3的指數(shù)，讀作3的2次方.

　　例10 有四個(gè)學(xué)生，他們的年齡恰好是一個(gè)比一個(gè)大1歲，而他們的年齡的乘積是5040，那么，他們的年齡各是多少？

　　解：我們先把5040分解質(zhì)因數(shù)

　　5040＝2⁴×3²×5×7.

　　再把這些質(zhì)因數(shù)湊成四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積：

　　2⁴×3²×5×7＝7×8×9×10.

　　所以，這四名學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.

　　利用合數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式，不難求出該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)（包括1和它本身）.為尋求一般方法，先看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子.

　　我們知道24的約數(shù)有8個(gè)：1，2，3，4，6，8，12，24.對(duì)于較大的數(shù)，如果一個(gè)一個(gè)地去找它的約數(shù)，將是很麻煩的事.

　　因?yàn)?4＝2³×3，所以24的約數(shù)是2³的約數(shù)（1，2，2²，2³）與3的約數(shù)（1，3）之間的兩兩乘積.

　　1×1，1×3，2×1，2×3，2²×1，2²×3，2³×1，2³×3.

　　這里有4×2＝8個(gè)，即 （3＋1）×（1＋1）個(gè)，即對(duì)于24＝2³×3中的2³，有（3＋1）種選擇：1，2，2²，2³，對(duì)于3有（1＋1）種選擇.因此共有（3＋1）×（1＋1）種選擇.

　　這個(gè)方法，可以運(yùn)用到一般情形，例如，

　　144＝2⁴×3².

　　因此144的約數(shù)個(gè)數(shù)是（4＋1）×（2+1）＝15（個(gè)）.

　　例11 在100至150之間，找出約數(shù)個(gè)數(shù)是8的所有整數(shù).

　　解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）兩種情況.

　　（1）2⁷＝128，符合要求，

　　3⁷＞150，所以不再有其他7次方的數(shù)符合要求.

　　（2）2³＝8，

　　8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.

　　3³＝27；

　　只有27×5＝135符合要求.

　　5³＝135，它乘以任何質(zhì)數(shù)都大于150，因此共有4個(gè)數(shù)合要求：128，104，135，136.

　　利用質(zhì)因數(shù)的分解可以求出若干個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).先把它們各自進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，例如

　　720＝2⁴×3²×5，168＝2³×3×7.

　　那么每個(gè)公共質(zhì)因數(shù)的最低指數(shù)次方的乘積就是最大公約數(shù)，上面兩個(gè)整數(shù)都含有質(zhì)因數(shù)2，較低指數(shù)次方是2³，類似地都含有3，因此720與168的最大公約數(shù)是

　　2³×3＝ 24.

　　在求最小公倍數(shù)時(shí)，很明顯每個(gè)質(zhì)因數(shù)的最高指數(shù)次方的乘積是最小公倍數(shù).請(qǐng)注意720中有5，而168中無(wú)5，可以認(rèn)為較高指數(shù)次方是51=5.720與168的最小公倍數(shù)是

　　2⁴×3²×5×7＝5040.

　　例12 兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是180，最大公約數(shù)是30，已知其中一個(gè)數(shù)是90，另一個(gè)數(shù)是多少？

　　解：180＝2²×3²×5，

　　30＝2×3×5.

　　對(duì)同一質(zhì)因數(shù)來(lái)說(shuō)，最小公倍數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較高的，而最大公約數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較低的，從2²與2就知道，一數(shù)中含2²，另一數(shù)中含2；從3²與3就知道，一數(shù)中含3²，另一數(shù)中含3，從一數(shù)是

　　90＝2×3²×5.

　　就知道另一數(shù)是

　　2²×3×5＝60.

　　還有一種解法：

　　另一數(shù)一定是最大公約數(shù)30的整數(shù)倍，也就是在下面這些數(shù)中去找

　　30， 60， 90， 120，….

　　這就需要逐一檢驗(yàn)，與90的最小公倍數(shù)是否是180，最大公約數(shù)是否是30.現(xiàn)在碰巧第二個(gè)數(shù)60就是.逐一去檢驗(yàn)，有時(shí)會(huì)較費(fèi)力.