例13 有一種最簡真分數，它們的分子與分母的乘積都是420.如果把所有這樣的分數從小到大排列，那么第三個分數是多少？

　　解：把420分解質因數

　　420＝2×2×3×5×7.

　　為了保證分子、分母不能約分（否則約分后，分子與分母的乘積不再是420了），相同質因數（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子應小于分母.分子從小到大排列是

　　1，3，4，5，7，12，15，20.

　　分子再大就要超過分母了，它們相應的分數是

　　兩個整數，如果它們的最大公約數是1.就稱這兩個數是互質的.

　　例13實質上是把420分解成兩個互質的整數.

　　利用質因數分解，把一個整數分解成若干個整數的乘積，是非常基本又是很有用的方法，再舉三個例題.

　　例14 將8個數6，24，45，65，77，78，105，110分成兩組，每組4個數，并且每組4個數的乘積相等，請寫出一種分組.

　　解：要想每組4個數的乘積相等，就要讓每組的質因數一樣，并且相同質因數的個數也一樣才行.把8個數分解質因數.

　　6＝2×3， 24＝2³×3，

　　45＝3²×5， 65＝5×13，

　　77＝7×11， 78＝2×3×13，

　　105＝3×5×7， 110＝2×5×11.

　　先放指數最高的質因數，把24放在第一組，為了使第二組里也有三個2的因子，必須把6，78，110放在第二組中，為了平衡質因數11和13，必須把77和65放在第一組中.看質因數7，105應放在第二組中，45放在第一組中，得到

　　第一組：24，65，77，45.

　　第二組：6，78，110，105.

　　在講述下一例題之前，先介紹一個數學名詞--完全平方數.

　　一個整數，可以分解成相同的兩個整數的乘積，就稱為完全平方數.

　　例如：4＝2×2， 9＝3×3， 144＝12×12， 625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方數.

　　一個完全平方數寫出質因數分解后，每一個質因數的次數，一定是偶數.

　　例如：144＝3²×4²， 100＝2²×5²，…

　　例15 甲數有9個約數，乙數有10個約數，甲、乙兩數最小公倍數是2800，那么甲數和乙數分別是多少？

　　解：一個整數被它的約數除后，所得的商也是它的約數，這樣的兩個約數可以配成一對.只有配成對的兩個約數相同時，也就是這個數是完全平方數時，它的約數的個數才會是奇數.因此，甲數是一個完全平方數.

　　2800＝2⁴×5²×7.

　　在它含有的約數中是完全平方數，只有

　　1，2²，2⁴，5²，2²×5²，2⁴×5².

　　在這6個數中只有2²×5²＝100，它的約數是（2＋1）×（2+1）＝9（個）.

　　2800是甲、乙兩數的最小公倍數，上面已算出甲數是100＝2²×5²，因此乙數至少要含有2⁴和7，而2⁴×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（個）約數，從而乙數就是112.

　　綜合起來，甲數是100，乙數是112.

　　例16 小明買紅藍兩種筆各1支共用了17元.兩種筆的單價都是整元，并且紅筆比藍筆貴.小強打算用35元來買這兩種筆（也允許只買其中一種），可是他無論怎么買都不能把35元恰好用完，問紅筆、藍筆每支各多少元？

　　解：35＝5×7.紅、藍的單價不能是5元或7元（否則能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否則另一種筆1支是5元或7元.

　　記住：對筆價來說，已排除了5，7，10，12這四個數.

　　筆價不能是35-17=18（元）的約數.如果筆價是18的約數，就能把18元恰好都買成筆，再把17元買兩種筆各一支，這樣就把35元恰好用完了.因此筆價不能是18的約數：1，2，3，6，9.

　　當然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.現在筆價又排除了：

　　1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.

　　綜合兩次排除，只有4與13未被排除，而4＋13＝17，就知道紅筆每支 13元，藍筆每支 4元.